Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{ccc}-6&6&6\\0&2&0\\-8&8&8\end{array}\right]}\)
Znajdź taką macierz \(\displaystyle{ C}\), że macierz \(\displaystyle{ C^{-1}AC}\) jest w postaci Jordana.

Więc moje pytanie jest czy muszę tutaj wyznaczać bazy Jordana czy wystarczą mi wektory własne?

Premislav pisze: Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1}\)

Czyli to wynika, z definicji Heinego tak?

No ok, ale czy nie korzystasz tutaj z jakiegoś przechodzenia w granicy do środka funkcji? W sensie czegoś takiego: Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( x\right)=1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}g\left( x\right)=0+}\) to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( g\left( x\right) \right)=1}\), lub czegoś podobnego?

Niech \(\displaystyle{ f:\left( 1,\infty\right) \rightarrow \left( 1,\infty\right)}\) będzie jednostajnie ciągła.
Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ g\left( x\right)= \frac{f\left( x+4\right) }{f\left( x\right) }}\) jest ograniczona.

Jaka jest intuicja do tego zadania? I jak to rozwiązać?

A skąd wiesz, że skoro \lim_{x \to 0}x^3 f'(x)=1 , to \lim_{x \to 0^+}(c_x)^3 f'(c_x)=1 ? Chyba korzystasz tu z jakiejś własności. Czyli generalnie postępowanie jest takie: ustalamy dowolnego x z przedziału \left( 0, \frac{\pi}{4} \right] i dla tego x piszemy twierdzenie Lagrange'a dla funkcji f . D...

Dana jest funkcja ciągła f:\RR \rightarrow \RR , przy czym f\left( 100\right)=100 . Wiadomo ponadto, że jeżeli a \in \RR jest dowolnym punktem takim, że f\left( a\right)=100 , to istnieje taka liczba \delta > 0 , że f\left( x\right)=100 gdy \left| x-a\right|<\delta . Udowodnij, że f\left( x\right)=1...

No, ale we wzorze Lagrange'a mamy punkty. Jakieś \(\displaystyle{ a,b}\) należące do dziedziny. A \(\displaystyle{ x}\) to jest jakby zmienna. To jak możemy mówić o przedziale \(\displaystyle{ \left( x,\tg x\right)}\) skoro to są funkcje?

Niech f:\RR \setminus \left\{ 12,4\right\} \rightarrow \RR będzie dana wzorem: f\left( x\right)= -\frac{1}{8}\left( -8x-15\ln\left| x-12\right|+15\ln \left| x-4\right| \right) Policz pochodną f. Czy tu trzeba liczyć oddzielnie pochodne w różnych przedziałach czy można jakoś zbiorczo? Chodzi mi o ten...

Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest różniczkowalna i spełnia warunek \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^3f'\left( x\right)=1}\). Oblicz granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+}f\left( x\right)-f\left( \tg\left( x\right) \right)}\)
stosując twierdzenie Lagrange'a.

Nie bardzo wiem, jak to tu zrobić.

A jaka jest ogólna intuicja do robienia tego typu zadań? O co chodzi z tą jednostajną ciągłością? (definicję znam, ale...)-- 4 kwi 2017, o 22:39 --

Ta masz rację jest błąd. W zamyśle miałem to: A teraz jeśli a<-1 to f\left( -e^{-1-a}\right)=1+e^{-1-a}>0 . Ale jak tak teraz patrze to rozumowanie to nie jest poprawne bo wnioskowałem, że skoro f\left( -e^{-1-a}\right)>0 i f\left( e^{-1-a}\right)<0 to musi istnieć na przedziale \left(-e^{-1-a},e^{-...

Niech f:\left( 1,\infty\right) \rightarrow \left( 1,\infty\right) będzie jednostajnie ciągła. a) Czy stąd wynika, że funkcja g\left( x\right)= \frac{f\left( x+3\right) }{f\left( x\right) } jest ograniczona? b)Czy stąd wynika, że funkcja h\left( x\right)=f\left( x\right)-f\left( \sqrt{x} \right) jest...

No dobra to chyba już wiem. f'\left( x\right)=\ln \left| x\right|+1+a . Wychodzi, że pochodna jest większa od zera dla x>e^{-1-a} \vee x<-e^{-1-a} i ujemna w x \in \left(-e^{-1-a},0 \right) \cup \left( 0,e^{-1-a}\right) . Zauważmy najpierw, że f\left( -e^{-1-a}\right)=1+e^{-1-a}>0 . Zobaczmy też, że...

Tam jest \(\displaystyle{ 3}\) to po pierwsze. A jak Jensena z tego zrobisz?

No faktycznie. Ale zakamuflowany przykład. Nie dość, że \(\displaystyle{ p,q,r}\) są wagami to jeszcze argumentami. W sensie, że zmyła jest, że \(\displaystyle{ p+q+r=1}\) sugerująca, że to niby wagi.