Matematyka.pl

Ale w jaki sposób mam wyznaczyć tą funkcję \(\displaystyle{ t(a)}\)?

Podróżnik przemieszcza się pomiędzy początkiem układu współrzędnych, a punktem \left(10, 10\right) . Droga między tymi punktami przechodzi przez dwa różne tereny: gęsty las oraz plażę. Granica pomiędzy tym lasem, a plażą wyznacza prosta x=5 . Prędkość podróżnika w lesie oraz na plaży to odpowiednio ...

Zgodnie ze wzorem Taylora mamy:

\(\displaystyle{ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+R_4\left(x\right) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\cos\theta x< x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \cos\theta x<1}\) dla \(\displaystyle{ \theta\in\left[ 0,1\right]}\) oraz \(\displaystyle{ x>0}\).

Czy to rozumowanie jest poprawne?

Z Taylora nie za bardzo się da dla wszystkich argumentów, bo występuje w nim sinus w punkcie pośrednim, nad którego znakiem nie masz żadnej kontroli Dodano po 2 minutach 3 sekundach: Za to bardzo ładnie się całuje nierówność `\sin x<x `, potem wynik jeszcze raz, i jeszcze raz i tak piec razy Czyli ...

Faktycznie, dla dużych \(\displaystyle{ x}\)-ów to rozumowanie się sypie. Nie bardzo wiem jak to ruszyć z tego wzoru Taylora. Podejrzewam, że ta reszta Lagrange'a jest tutaj istotna.

Mamy następującą nierówność:

\(\displaystyle{ \left(-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}\right)+\left(-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!}\right)+\cdots<0}\)

(jako nieskończoną sumę składników/nawiasów ujemnych)

Dodając stronami \(\displaystyle{ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}\) otrzymujemy tezę.

Czy taki sposób jest poprawny?

Mam już wersję poprawioną:

\(\displaystyle{ 0<x\leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ n\geq 2}\)

(sama nierówność pozostaje bez zmian)

Faktycznie coś nie tak jest z tym zadaniem. Ta nierówność będzie chyba nieprawdziwa również dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych.

A wzór Taylora to nie jest to samo co rozwinięcie funkcji w szereg?

Wzór na sinusa, że tak to ujmę "leci dalej" z tą naprzemienną sumą nieparzystych potęg. Podejrzewam, że tutaj sednem sprawy jest to, że kończymy na potędze o dodatnim współczynniku, ale jak to uzasadnić konkretnie?

Tą funkcja dla \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych nie będzie monotoniczna.

Wykorzystując wzór Taylora z resztą Lagrange'a uzasadnić poniższą nierówność:

\(\displaystyle{ \sin x<x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

Jakieś wskazówki?

Uzasadniając monotoniczność odpowiedniej funkcji wykazać, że zachodzi poniższa nierówność:

\(\displaystyle{ \left(1-x^2\right)^n>1-nx^2}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq x\leq 1}\)

Jakieś pomysły?

Ogólnie to \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)

To teraz już jasne wszystko, dziękuję za pomoc.