Matematyka.pl

Post powyżej nie wnosi kompletnie niczego do dyskusji. Poza podejrzeniem, że jego autor nie zna definicji granicy lub chciał bez przemyślenia nabić posta. No offence, ale większość Twoich postów tak wygląda, zero konkretów. Dlaczego to dowód faktu, że n^2 \le 2^{\sqrt{n}} : Skoro granicą jest 0 , to...

Bez żadnych pochodnych to będzie tak:

Jeśli \(\displaystyle{ x>0}\), to z nierówności Bernoulliego mamy \(\displaystyle{ 2^x = (1+1)^x \ge 1+x > x}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x \le 0}\), to \(\displaystyle{ 2^x > 0 \ge x}\).

Zastosujmy Cauchyego Schwarza: \frac{a}{a+b^n+c^n} = \frac{a(a^{n-1}+2)}{(a+b^n+c^n)(a^{n-1}+1+1)} \le \frac{a^n + 2a}{(\sqrt{a^n}+\sqrt{b^n}+\sqrt{c^n})^2} . Wystarczy więc nam pokazać, że: a^n + b^n + c^n + 2a+2b+2c \le (\sqrt{a^n}+\sqrt{b^n}+\sqrt{c^n})^2 . Czyli a + b + c \le \sqrt{a^nb^n} + \s...

Zauważ, że zadanie dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) można sprowadzić do sytuacji \(\displaystyle{ n=1}\).

Potwierdzam to wyżej

Wszystkie te wyrazy pasują do następującego ciągu:
\(\displaystyle{ a_n}\) = liczba nieparzystych liczb złożonych mniejszych od n-tej nieparzystej liczby pierwszej. Raczej nie wypiszesz tego ścisłym wzorem algebraicznym.

Po dobraniu odpowiedniego ciągu arytmetycznego (tzn \(\displaystyle{ a_n = 2n+1}\)) powinna ci wyjść liczba, która jest kwadratem liczby naturalnej.

Wyprodukowałem jakieś takie rozwiązanie: Dla rozkładu (3x+1)(2y+1) postępujemy następująco: najpierw rozkładamy daną liczbę na iloczyn potęgi dwójki i liczby nieparzystej (takie rozkłady są dokładnie dwa), czyli 2^k m lub (-2^k)(- m) . No i mamy dwie opcje. Jeśli 2^k daje resztę 1 z dzielenia przez ...

To nieistotne. Ważne, że w postaci: \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n}}\) nie jest to ciąg zadany wzorem rekurencyjnym.

Pouczająca będzie próba udowodnienia tego twierdzenia.

Jako ciekawostkę dodajmy, że był to przez jakiś tam czas problem otwarty. Ale nie jest trudny, tylko techniczny. W szczególności raczej nie jest piękny.

No super. To w zadaniu 3. rozważcie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}}\) i teza ta sama, ale dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\).

Udowodnij sobie na boku, że \(\displaystyle{ (a+b+1)^2 \ge 4(a+b)}\). Później skorzystaj z faktu o ułamkach właściwych, by pokazać, że \(\displaystyle{ 4(a+b) \ge 4(a^{1997}+b^{1997})}\).

To napisz taki dowód jaki wymyśliłeś i stwierdzimy czy się nadaje

Zadanie 1 odkopałem przed chwilą sprzed czterech dni, więc minimalnie rozumiem.
Zadanie 2: narysuj to sobie i popatrz, co się dzieje.
Zadanie 3: tutaj https://www.matematyka.pl/369695.htm
Zadanie 4: algorytm euklidesa.