Matematyka.pl

Zadanie 13.
... /pompe.pdf

To luzne skojarzenie - jak komus sie chce, to niech popatrzy.

Zawsze \(\displaystyle{ x = 0}\) jest pierwiastkiem. A może być dwukrotnym pierwiastkiem?

Różniczkując, tracimy potencjalnie mnóstwo innych rozwiązań, bo zakładamy, że funkcja ma pochodną.

Różnowartościowości nie trzeba nawet.

A nie, jednak trzeba.

Poprzednik implikacji...

Już trochę się gubię w tym, kto trolluje, a kto nie (jedyny pewniak, to ElEski - dla niewtajemniczonych był na finale pewnie z 4 czy 5 razy, wiec nie bierzcie jego słów do serca, bo to nie jest przeciętny uczestnik), w każdym razie chciałem dopisać, że zadanie 8. jest naprawdę ładnym (choć być może ...

Przy okazji, czy jest ktoś w stanie podać dowód, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}}\)?

Swego czasu całkiem sporo nad tym siedziałem (bezowocnie), poza tym też dużo googlowałem (również bezowocnie).

W wyniku obliczenia \(\displaystyle{ \sup_{t \in T} \mathbb{E}(|X_t| ; \ X_t \ge r )}\) otrzymasz coś zależnego od \(\displaystyle{ r}\), a nie \(\displaystyle{ t}\). No i żeby warunek zaszedł, to traktujesz to jako granicę przy \(\displaystyle{ r \to \infty}\) i ma to wyjść zero.

Kładziemy g\left(x\right)=f\left(x\right)-x i nasze równanie sprowadza się do: 2000g\left( g\left(x \right) \right)=-g\left(x\right) Teraz skoro f: \ZZ \rightarrow \ZZ to g: \ZZ \rightarrow \ZZ i mamy w szczególności 2000|g\left(x\right) . Pokazujemy indukcyjnie że 2000^{n}|g\left(x\right) co oznac...

Jest OK

Rzeczywiście, pokręciłem coś z tymi dwójkami. Powinno być: a_n = \frac{n!!}{(n-1)!!} Dowód: a_n = \frac{n}{a_{n-1}} = \frac{n}{n-1}a_{n-2} i dalej indukcja produkuje te podwójne silnie. Możliwe, że nierówności przeniosą się na analogiczne, ale głowy nie daję. W każdym razie póki co zadanie nie jest ...

Istnieje.

Poprzekształcać prawdziwą nierówność

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln(1+x) \le x}\)

Najpierw podstawiając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), potem przekształcić tak, zeby otrzymać \(\displaystyle{  (...)-(...) > \frac{1}{n} > (...) - (...)}\) i wysumowac stronami.