Matematyka.pl

Mi też wyszło 8 (Odpowiedzi:g, c).
A mógłby ktoś podać rozwiązania do II kategorii?

Wskazówka:
Odległość ta to będzie poprostu druga wysokość równoległoboku. (Pierwsza to to 40m). Zastanów się, jak można na dwa sposoby wyrazić pole równoległoboku.

Trójkąt o danych dwóch bokach ma największe pole, gdy kąt między nimi będzie prosty (dowód jest dosyć prosty, jeśli chcesz to napiszę). Trzeba tak dopasować te dane 4 długości, aby były 2 kąty proste i żeby zgadzała się długość wspólnej przekątnej. To jest spełnione właśnie w sytuacji opisanej przez...

Największe pole będzie wtedy, gdy w czworokącie będą dwa kąty proste- kąty proste będą leżały przy bokach odpowiednio 5 i 5 oraz 1 i 7. Maksymalne pole wyniesie \(\displaystyle{ 26cm ^{2}}\).

Trochę pominę. Po przekształceniach doszłam do tego, że :
\(\displaystyle{ 25k+5(6 ^{n} \cdot 4+1)=25k+25l=25(k+l)}\), gdzie

\(\displaystyle{ 25k=2 ^{n+2} \cdot 3 ^{n}+5n-4}\)

Podzielność przez 5 nawiasu łatwo udowodnić, korzystając z tego, że dowolna potęga 6 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5.

1. \(\displaystyle{ ...=((x+1) ^{2}+1)(x ^{2}+1)>0}\)

2. \(\displaystyle{ }\)

Wskazówka: Niech CD i AB będą podstawami trapezu ( CD krótsza), a O to punkt przecięcia się przekątnych. Wówczas trójkąty COD i ABO są prostokątne równoramienne. Oznaczmy |CD|=a. Wówczas otrzymamy równanie \frac{a \sqrt{2} }{2}+ \frac{3a \sqrt{2} }{2}=12 . Masz już dł. a. Teraz można skorzystać z tw...

...

Jest 25 różnych możliwych reszt przy dzieleniu przez 25. Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że spośród dowolnych 26 liczb całkowitych (tym bardziej 27) istnieją dwie dające taką samą resztę przy dzieleniu przez 25. Ich różnica jest podzielna przez 25.

Może takie (chyba nietrudne):

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z}\) są parami różne i spełniają równości \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{y}=y+ \frac{1}{z}=z+ \frac{1}{x}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ x \cdot y \cdot z}\)

Ad.3 (to ja się wezmę za "banalne" dla formalności )
\(\displaystyle{ n ^{4}+4=(n ^{2}+2) ^{2} -(2n) ^{2}=(n ^{2}+2-2n)( n ^{2}+2+2n) \Rightarrow n ^{2}-2n+2=1 \Rightarrow n=1}\)

chyba "to zadanie" a- ilość I solanki najpierw b- ilość II solanki najpierw \frac{ \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{5} \cdot a+ \frac{1}{50} \cdot \frac{4}{5} \cdot b }{ \frac{6}{5} \cdot a+ \frac{4}{5} \cdot b }= \frac{2}{25} \Rightarrow a=2b Musisz obliczyć: \frac{ \frac{1}{10} \cdot a + \fra...

Wystarczy zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in Z}\) \(\displaystyle{ x ^{3}\equiv (0, 1, 6)(mod7)}\)

Udało się
Gratuluję Wam wszystkim i do zobaczenia na finale!

Podziel kwadrat na n ^{2} małych kwadracików. Wówczas z ZSD co najmniej 3 z punktów należą do jednego kwadracika- to one tworzą ten szukany trójkąt, którego pole nie przekracza \frac{1}{2n ^{2} } pola wyjściowego kwadratu.-- 3 lutego 2009, 13:19 --Ad. 2 Nie, uzasadnienie: 23\equiv3(mod 4) \wedge 4ac...