Matematyka.pl

Zbadaj równoliczność zbiorów A i B A= \left\{ x \in \mathbb{R}: \left(x-\sqrt{3}\right)^{4}-5\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}+4<0\right\} B=\left\{x\in\mathbb{R}: \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\ge15\right\} Po rozwiązaniu o ile się nie pomyliłam wychodzi A=\left(\sqrt{3}...

Zbadaj równoliczność zbiorów \(\displaystyle{ \left(0,1\right) }\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R} }\). Podaj wzór funkcji ustalającej równoliczność.
Są to zbiory nieskończone, więc domyślam się że równoliczne. Tylko jak ułożyć odpowiednią bijekcję?

Sprawdź, czy zachodzi: \(\displaystyle{ A \subset B \wedge A \sim A \cup C \Rightarrow B \sim B\cup C }\).

Udowodnij: A) \forall f,g \in X^{X} \left(f \left[ X \right] \subset g \left[ X \right] \Leftrightarrow \exists h \in X^{X}: f=g\circ h\right) B) \forall f,g \in X^{X} \left( Kerf \subset Kerg \Leftrightarrow \exists h \in X^{X}: g = h \circ f \right) def.: x_{1}Kerfx_{2} \Leftrightarrow f\left(x_{1...

Dla podanej funkcji f i zbiorów A, B , znajdź obraz zbioru A przez funkcję f i przeciwobraz zbioru B przez funkcję f . f(x)=(\left| x-1\right|,\left| x+1\right| ) A=\mathbb{R} B=(1,+ \infty) \times (1, +\infty) Czy przeciwobrazem będzie tutaj zbiór liczb rzeczywistych czy jeżeli mamy do czynienia z ...

Sprawdź, czy \(\displaystyle{ \left(U_{1}+...+U_{k}\right) \cap V = \left(U_{1} \cap V\right) + ... +\left(U_{k} \cap V \right) }\)

Niech \mathbb{Z} _{n}= \left\{ 0,1, ..., n-1\right\} dla n \in \mathbb{N} . W zbiorze \mathbb{Z} _{n} określamy działania \cdot _{n} oraz + _{n} następująco: x+_{n}y to reszta z dzielenia liczby x+y przez n, natomiast x\cdot_{n}y to reszta z dzielenia liczby xy przez n. Udowodnij, że \left( \mathbb{...

Niech \QQ\left( \sqrt{a} \right)=\left\{ m+n\sqrt{a}, m,n\in \QQ\right\} 1. Udowodnij, że grupy \left(\QQ\left(\sqrt{2}\right),+\right) oraz \left(\QQ\left(\sqrt{3}\right),+\right) są izomorficzne. 2. Czy istnieje izomorfizm ciała \left(\QQ\left( \sqrt{2}\right),+, \cdot \right) na ciało \left(\QQ,+...

Znajdź a , dla którego funkcja g\left(x\right)= \begin{cases} 2+e ^{ \frac{1}{x} }, &x<0 \\ \frac{\sin ax}{x}, &x>0 \\ \lim\limits_{x \to 0^{-}} 2+e^{ \frac{1}{x}}, &x=0 \end{cases} jest ciągła na liczbach rzeczywistych. Znalezienie a to nie problem, ale nie umiem policzyć granicy z e . ...

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n+\left( -1\right) ^{n-1} } }\)
Jak się do tego zabrać? Z odpowiedzi wiem że jest zbieżny, ale jak to zbadać?

Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{1-2\left( -1\right) ^{n} }{n} }\)

Wydawało mi się że należy tu skorzystać z kryterium Leibniza, ale nie jestem pewna jak wyciągnąć \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{n} }\) przed ułamek. Jaką metodę można tu zastosować?

\exists t \in T \exists s \in S : (x \in A _t \wedge x \in B _s) Czy w tego typu zapisie mogę równoważnie "wprowadzić" pod nawias najpierw wewnętrzny, potem zewnętrzny kwantyfikator przed zdania z x do których się odnoszą? tzn. \exists t \in T x \in A_t \wedge \exists s \in S x \in B _s C...

Dziękuję bardzo, zastanowię się faktycznie lepiej nad tym przykładem. Ale na przyszłość, jak przeprowadzać dowód gdy w założeniach jest implikacja, skoro nie można obu stron implikacji przyjąć jako prawdziwych?

Sprawdź, czy: (A \subset B) \Leftrightarrow [(B \subset C) \Rightarrow (C \setminus A) \cap (C \setminus B) = C \setminus B] Udało mi się udowodnić implikację " \Rightarrow ", mam problem dotyczący struktury dowodu (ew. sprawdzenia) z prawej w lewą. " \Leftarrow " wygląda w spory...