Matematyka.pl

\(\displaystyle{ e+e^{-1} = 2a}\)

\(\displaystyle{ e^{-t} sin(e^{2t}) < e^{-t}}\)

\(\displaystyle{ x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \\
y_n = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi}\)

przemk20 pisze: bo \(\displaystyle{ f(f^{-1}(A)) = A}\) zawsze

Zordon pisze: Tutaj będę protestował

Spojrz na definicje przeciwobrazu

To pokaz inkluzje, ktora wynika z zwartosci

Weźmy więc A= \bigcap_{k=1}^{\infty}f^k(X) f^k to k-krotne złożenie f ze sobą To nie pojdzie: Mozna pokazac, ze f^k(X) jest zstepujacy, zatem A jest niepusty domkniety i zwarty. Problem natomiast jest z tym czy f(A) = A, bo funkcje z reguly niezachowuja przekroju przez obraz!!. Drugi problem to to,...

Tutaj \(\displaystyle{ X \neq Y.}\)
dlaczego \(\displaystyle{ f(X)}\) jest domkniety ?
I lepiej to robic przez przeciwobraz

Nie wiem, dlaczego sadzisz, ze moje rozumowanie jest tylko dla funkcji granicznej ?
To jest dla dowolnej funkcji takiej, ze: \(\displaystyle{ \|f\| = 1}\) i f ciagla i potem idzie dowod nie wprost.
Ja tutaj zapomminam o konstrukcji

Tak, zawsze dla przekształcenia liniowego: T(0) = 0
\(\displaystyle{ T(0) = T(x-x) = T(x) - T(x) = 0}\)

Zauważ, że z zalozen i zakladajac niewprost, ze \(\displaystyle{ T(f) = 1}\) mamy \(\displaystyle{ f(\frac{1}{2n}) = 1, f(\frac{1}{2n+1}) = -1}\)
A z tego juz (patrz poprzedni post) \(\displaystyle{ f \notin C([0,1])}\) sprzecznosc.
Czyli to co trzeba

Niewprost:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n+1} \rightarrow 0. \\
f(\frac{1}{2n}) = 1 \rightarrow 1 , \ \ f(\frac{1}{2n+1}) = -1 \rightarrow -1 \\}\)
Zatem f nie jest ciagla w 0

Dokładnie \(\displaystyle{ f}\) nam jest nie potrzebna. Chciałem pokazać przykład funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla której hipotetycznie \(\displaystyle{ T(f) = 1}\). Tylko w naszej przestrzeni nie znajdziemy funkcji dla której \(\displaystyle{ T(f) = 1}\), bo wtedy ona będzie nieciągła w zerze.

w(x) = g(\sqrt{x}), \ \ x \ge 0 \ \ w(x) = (1+x)e^{-x} \\ w'(x) = e^{-x} -(1+x)e^{-x} = xe^{-x}, czyli x = 0. masz maksimum. Albo sprytniej: e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \ge 1 + x biore pierwsze 2 wyrazy sumy (rownosc gdy x=0), wtedy (1+x)e^{-x} = \frac{1+x}{e^x} \le \frac{1+x}{1+x} =...

f\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)=\cos n\pi=(-1)^n . Z tego względu mamy T(f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1 Przy liczeniu normy zmieniasz n, a w definicji f n jest stale. Idea jest dobra, tylko tak latwo z jedna funkcja nie wyjdzie. Latwo widac, ze istnieje f...

\(\displaystyle{ f(x,y) = (1+x^2) e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} = g(x) \cdot h(y)}\)
wyznaczasz osobno maksimum dla kazdej

Czego nie rozumiesz ?
Dla dwoch różnych wektorow masz ta sama wartosc tj:
\(\displaystyle{ T(ax+by) =T(0)= 0}\), czyli nie ma roznowartosciowosci