Matematyka.pl

Niech ABCD będzie danym równoległobokiem. Jako się rzekło, wystarczy rozważyć symetrię środkową względem danego punktu i sprawdzić, w ilu punktach brzeg równoległoboku A'B'C'D' przecina brzeg ABCD . Zastanówmy się w tym celu, ile wierzchołków równoległoboku A'B'C'D' może się znaleźć wewnątrz ABCD . ...

I jakiego w związku z tym brakuje punktu skupienia? \(\displaystyle{ (\infty,0)}\) ?

No tak… Dzięki!

To jest środek ciężkości pręta, którego gęstość wynosi \(\displaystyle{ f(x)}\)

No jasne.
Ale powróciłbym do meritum rozwiązania deca1. Co trzeba wiedzieć o funkcji \(\displaystyle{ g(x,t)}\), aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_a^bg(x,t)\,dx=\int_a^b\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g(x,t)\,dx}\)?

OK. Kluczowym krokiem, którego się zląkłem, było przejście z różniczkowaniem pod znak całki. Z czego tu tak naprawdę korzystamy? Takie przejścia są zawsze delikatne. Jeśli nie jesteś tego świadom, podpowiem: jest to zadanie na wyznaczenie środka ciężkości pewnej figury. Skojarzenie nasunęło mi się, ...

O czymś takim myślałem, ale nie wiem, jak to zrobić. (Przy czym powinno być raczej \phi''(c)>0 , bo z zerowania się drugiej pochodnej nic jeszcze nie wynika). Widzę to tak: Mam sobie funkcję F(x,t) , o której wiem, że \frac{\partial F}{\partial x}=(x-t)^2f(x) . Wtedy \psi(t)=F(b,t)-F(a,t) . No i chc...

Funkcja f\colon [a,b]\to(0,+\infty) jest ciągła. Określamy nową funkcję \psi\colon(a,b)\to\mathbb{R} , \psi(t)=\int_a^b(x-t)^2f(x)\,dx . Wykazać, że funkcja \psi osiąga na (a,b) swoje minimum. W jakim punkcie? Scharakteryzować ten punkt w terminach wyjściowej funkcji f . Zupełnie nie mam pomysłu. Ni...

Wyznaczyć taką trójkę liczb rzeczywistych a, b, c , żeby dla dowolnego wielomianu w stopnia nie większego niż 2 spełniona była zależność \int\limit_0^1w(x)x^2\,dx=aw(0)+bw(1/2)+cw(1) Zadanie pojawia się w związku z tematyką kwadratur. Rzecz w tym, że można je rozwiązać absolutnie gołymi rękami. Po p...

Tak, tak. Przepisałem treść ze zbioru zadań, a w głowie miałem wersję z innymi literami i granicą prawostronną i dlatego tak Dzięki.

Stosujemy twierdzenie Lagrange'a do funkcji f w przedziale [b,b+h] dla ustalonego h . Otrzymujemy punkt pośredni \xi zależny od h , co wyrażam przez \xi(h) . Ponadto punkt ten ma postać b+\theta(h) , gdzie 0<\theta<h . Tak że bardzo formalnie rzecz ujmując, \theta jest po prostu pewną funkcją spełni...

Niech f będzie funkcją ciągłą na [a,b] i różniczkowalną na (a,b) . Wykazać, że jeśli \lim_{x\to b^-}f'(x)=A , to istnieje f'_-(b) i jest równa A . Rozwiązanie, które mam: f'_-(b)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}h=\lim_{h\to0^-}f'(b+\theta h)=A Wydaje mi się, że zamiast f'(b+\theta h) powinno być rac...

Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} |yx^{-2}|\cdot e^{-|yx^{-2}|} & \textrm{dla $x\neq0$}\\ 0 & \textrm{dla }x=0 \end{array} \right. Moim zdaniem ciągłość jest wszędzie poza (0,0) . W otoczeniu punktu (0,t) , gdzie t\neq0 , mamy f(x,y)=g(s(x,y)) , gd...

A ile wynosi infimum zbioru \(\displaystyle{ (-\infty,-\sqrt[4]5]\cup[\sqrt[4]5,+\infty)}\)?

Ten zbiór to po prostu \(\displaystyle{ (-\infty,-\sqrt[4]5]\cup[\sqrt[4]5,+\infty)}\).

Trochę nie rozumiem tego, co mówisz. Mam sporą dowolność w tym, żeby mi ten x wyszedł. Na pierwszy (ani drugi) rzut oka nie widzę, dlaczego nie mógłbym podobierać wielomianów r_1, m_1, r_2, m_2 "wymyślnie" w taki sposób, żeby na końcu poskracało się to do x . Zastanawiam się, czy nie można...