Matematyka.pl

szkoda pieniędzy na jakieś proofreadingi, zamiast tego polecam lekturę:

gdy \(a\le b\le c\) i \(a+b+c=6\), to \(a\le 2\le c\), więc \((2-a)(c-2)\ge 0 \implies ac \le 2a+2c-4=2(4-b)\)

poza tym \((b-2)^2\ge 0 \implies (4-b)b\le 4\)

po zebraniu tego do kupy: \(abc \le 2(4-b)b \le 8\)

jakie dzielniki pierwsze mają \(1\) i \(-1\)?

rzeczywiście, w czwartej linijce nierówność powinna być w drugą stronę to daje w takim razie \(a+b\ge 1\) i \(ab=\frac{(a+b)(1+a+b)}{9-(a+b)} \ge \frac{1\cdot(1+1)}{9-1}=4\), tj. \(\sqrt[3]{4abc} \ge \max(a,b,c)\), ale nie o to proszono nas w zadaniu my mamy sprawdzić, że \(2ab=\frac{2(a+b)(1-(a+b))...

bez szkody \(1=c\ge a,b>0\) (można skalować i permutować) założenie daje \(ab(9-(a+b))=(a+b)(1+a+b)\) skoro \(4ab\le(a+b)^2\) i \(a+b\le 2<9\), to \(4(a+b)(1+a+b)=4ab(9-(a+b))\le(a+b)^2(9-(a+b))\) po skróceniu czynnika \(a+b\) i przekształceniach: \((4-(a+b))(1-(a+b))\ge 0\) wiadomo jednak iż \(4>a+...

kontrprzykład: \(x=1\), \(y=i\)

Ja tam się nie zmęczyłem :). Za to jakoś nie widzę równości kątów, o których piszesz. to geometria na poziomie przedszkola, ale już spieszę z wyjaśnieniem jakich faktów użyliśmy pierwsza równość wynika z warunku na wpisywalność czworokąta w okrąg (suma przeciwległych kątów równa się kątowi półpełne...

po co się tak męczyć?

powiedzmy, że mamy trójkąt \(ABC\) z wysokościami \(BE\) i \(CF\), a prosta styczna w punkcie \(A\) do okręgu opisanego na \(ABC\) nazywa się \(\ell\)

punkty \(E,F\) leżą na okręgu o średnicy \(BC\)

teza wynika z równości kątów \(\angle EFA = \angle ACB = \angle(\ell, AB)\)

wciąż nie musi i może \(X=\{0,1\}^{\mathbb N}\) z topologią dyskretną dla każdego skończonego ciągu binarnego \(\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots \varepsilon_k\) definiujemy \(A_{\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots\varepsilon_k} = \{(x_1,x_2,\ldots)\in X \colon x_1=\varepsilon_1, x_2=\varepsilon_2, \ldo...

nie musi i może:

\(X\) --- nieprzeliczalna przestrzeń dyskretna

\(\mathcal B = \{\{x\} \colon x\in X\} \cup \{X\}\)

\(\mathcal C = \{X\}\)

miałem nadzieję, że nikt nie będzie się dopytywał, bo mi się nie chciało tego opisywać, ale skoro obiecałem, to opiszę zasadniczo chodzi o to, że jeśli \(0\le x<y\le z\), to patrzymy na wielomian \(P(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz\) możemy popatrzeć na wielomian \(Q(t)=P(t)-\varep...

w tym pytaniu strzelałem, bo nie wiadomo o co cho

strzeliłem dobrze

a4karo pisze: ↑11 lip 2022, o 14:11 ... jest wypukła jako odwrotność funkcji wklęsłej ...

na ogół to tak nie jest: funkcja \(x \mapsto -x\) jest wklęsła na \((0,\infty)\), a jej odwrotność nie jest wypukła

odpowiedź to

Timonek pisze:już mi się nie chce tego wklepywać do wolframa

na kątach wychodzi, że punkty \(F, O_1, O_2, O_3\) leżą na okręgu jest jasne, że \(A\) jest symetryczny do \(F\) względem \(O_1O_3\), a \(B\) jest symetryczny do \(F\) względem \(O_1O_2\) w takim razie \(AB\) jest prostą Steinera punktu \(F\) względem trójkąta \(O_1O_2O_3\), więc ortocentrum \(O_1O_...