Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X_t}\) to inny zapis \(\displaystyle{ X(t)}\), natomiast \(\displaystyle{ x,y}\) nie zależą od \(\displaystyle{ t}\).
Nie bardzo wiem, gdzie pojawia Ci się skłądnik \(\displaystyle{ dW_t \cdot dt}\). Tutaj wystarczy podstawić pochodne cząstkowe funkcji f do lematu Ito i następnie skorzystać z określenia \(\displaystyle{ dX_1(t)}\) oraz \(\displaystyle{ dX_2(t)}\).

Nie do końca. Zobacz np. (str.3) na sformułowanie wielowymiarowej formuły Ito. Powinnaś zamiast a_i pisać b_i X_i(t) , natomiast zamiast b_i pisać a_i , gdzie i=1,2 (zobacz określenia procesów X_1 oraz X_2 ). Możesz dodać argumenty funkcji f i dobrze byłoby jednak pisać np. \frac{\partial f}{\partia...

Wskazówka : \(\displaystyle{ \alpha+(\beta+\gamma)=\pi}\).
Skorzystaj też z pewnego wzoru redukcyjnego.

Tam na końcu powinno być chyba \(\displaystyle{ a_1\cdot a_2\cdot dt}\) zamiast \(\displaystyle{ b_1\cdot b_2 \cdot dt}\).
Zastosuj lemat Ito dla funkcji \(\displaystyle{ f(t,x,y)=xy}\) oraz procesu \(\displaystyle{ (X_1(t),X_2(t))}\).

Coś chyba jest nie tak z tą proporcją.
Tak czy owak sprawdź np. \(\displaystyle{ z_1=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=\frac{1}{3}}\).

W jaki sposób można sparametryzować okrąg ?

Zgadza się. Celowo liczyłem jednak na to, że autorka tematu sama to zauważy, że trzeba uwzględniać tylko \(\displaystyle{ x,y\geq 0}\).

Dobrze byłoby coś założyć o funkcji \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) np., że jest różniczkowalna, rosnąca i \(\displaystyle{ \varphi(0)=0}\).
Zauważ, że wówczas \(\displaystyle{ P(\varphi (X)>t)=P(X>\varphi^{-1}(t))}\). Pozostaje podstawić \(\displaystyle{ u=\varphi^{-1}(t)}\).

Co to za figura: \(\displaystyle{ \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 1\}}\) ?
Jaki związek ma jej pole z szukanym prawdopodobieństwem ?

Rozpisz \(\displaystyle{ \Delta (uv)}\) korzystając z tego, że \(\displaystyle{ u,v}\) są harmoniczne. Otrzymasz wówczas warunek z pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu dla \(\displaystyle{ u,v}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sinh t} \mbox{d}t=\int \frac{2e^t}{e^{2t}-1} \mbox{d}t}\) (pomnożyliśmy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ e^t}\)). Teraz wystarczy podstawić \(\displaystyle{ u=e^t}\).

Rozważ

Podstaw \(\displaystyle{ t=2^{x}}\).

Coś chyba jest nie tak z treścią. Rozważ np.

Jasne, zadajesz.