Matematyka.pl

teraz w zasadzie wystarczy pokazać, że x=y . Nie wystarczy. Bo to jedno x(=y) będziesz mieć dla jednego konkretnego a . Trzeba jeszcze pokazać, że dla każdego innego a ta znaleziona jedynka jest taka sama. I od tego warto zacząć. Wybierzmy dowolne a i dla niego weźmy x i y ,tak, jak u Ciebie (czyli...

Izometria nie musi przekształcać zbiorów domkniętych na domknięte. Przykład: Wystarczy wziąć jakąkolwiek przestrzeń metryczną X , która nie jest dyskretna i dowolny jej podzbiór A\subset X , który nie jest domknięty. Na A rozważamy metrykę pochodzącą z X . Wówczas włożenie i:A\to X jest izometrią, k...

Mam tak samo, z wyjątkiem zadania 9, gdzie mam tylko 10 , a 12 nie. Skąd by się to 12 miało wziąć? 870=10 \cdot 50+12 \cdot 20+13 \cdot 10 ? Ale 10, 12 i 13 nie są kolejnymi liczbami całkowitymi. Mój czas to 1:47. W zadaniu 18 też na początku źle zrozumiałem autorów, bo wychodziło mi, że ciekawy jes...

Jan Kraszewski pisze:

Skrzypu pisze:Moje odpowiedzi:
1. 6

Naprawdę? Ja uważam, że 10. Poza tym tak samo.

Pytanie było o to ilu DODATKOWO cukierników trzeba zatrudnić. Wszystkich ma być 10, czyli dodatkowo 10-4=6.

Bez rysowania i wyobrażania sobie można tak: Widoczne są dokładnie trzy ścianki każdego z małych klocków (trzy pozostałe są w środku dużego sześcianu i są niewidoczne). Stąd liczba czarnych pól na wszystkich ścianach musi być trzy razy większa, niż liczba czarnych klocków, czyli musi być podzielna p...

Ja mam tak: 1 - B 2 - D 3 - C 4 - A 5 - D 6 - C 7 - E 8 - A Nie A, lecz B. Są trzy możliwości: 1\ 4, 4\ 1 oraz 2\ 2 . 9 - D 10 - E 11 - C 12 - E 13 - C 14 - E 15 - D 16 - B 17 - B 18 - E 19 - D Nie D, lecz B. Można to różnie liczyć. Na przykład tak: 50+24-\frac{24}{2}=62. 20 - D 21 - D 22 - ? 23 - ...

6. W przestrzeni danych jest n zielonych punktów, przy czym n \ge 4 i żadne cztery zielone punkty nie leżą na jednej płaszczyźnie. Niektóre odcinki łączące zielone punkty pomalowano na czerwono. Liczba czerwonych odcinków jest parzysta. Każde dwa różne zielone punkty łączy pewna łamana złożona z cz...

Niech n_1=1 , n_2=7 oraz n_k=6n_{k-1}-n_{k-2} dla k>2. Podobnie niech m_1=1 , m_2=5 oraz m_k=6m_{k-1}-m_{k-2} dla k>2. Łatwo pokazać (indukcja), że oba ciągi są rosnące, n_k>m_k dla k>1 oraz n_k^2+1=2m_k^2 . To kończy sprawę, bo każdy dzielnik pierwszy n_k^2+1 jest dwójką lub dzielnikiem liczby m_k...

A tak na serio, to baaardzo rzadko zdarzają się zadania, które są po prostu przypadkami szczególnymi jakichś egzotycznych twierdzeń. Słyszałem, że 61-3-6 takie było, ale dane twierdzenie było z jakiejś wyższej półki i oczywiście nikt go nie znał. Raczej nie tak rzadko. Zeby daleko nie szukac, nawet...

Nie daję głowy za prawdziwość, ale słyszałem plotę, że kiedyś na IMO znaleziono serbską parę w łóżku, więc z tym zaczynaniem życia, to możesz nie mieć racji To już teraz wiemy, czemu Świstak chce na IMO To może tak powiem: Oba wydają mi się dość proste w porównaniu do przeciętnych zadań z IMO . Śre...

Nierówność można uogólnić następująco: Dla liczb a_{i,j}>0 , gdzie i=1,\dots,n oraz j=1,\dots,m zachodzi \frac1{\sum_{j=1}^m\frac1{\sum_{i=1}^na_{i,j}}}\geq \sum_{i=1}^n\frac1{\sum_{j=1}^m\frac1{a_{i,j}}} Dla m=2, kładąc a_{i,1}=a_i , a_{i,2}=b_i , dostajemy wyjściową nierówność. Interpretacja fizyc...

Nierówność ta, którą można zapisać tak \frac{\sum_{i=1}^na_i\sum_{i=1}^nb_i}{\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)}\ge\sum_{i=1}^n\frac{a_ib_i}{a_i+b_i} ma pewną interpretację fizyczną: Rozważmy następujący układ oporników: W jednym szeregu łączymy kolejno oporniki o oporach a_1,a_2,\dots,a_n . W drugim szeregu łąc...

Mamy pokazać, że dla x>2 zachodzi x\sin^2\left(\frac\pi{2x}\right)>(x+1)\sin^2\left(\frac\pi{2(x+1)}\right) W tym celu wystarczy pokazać, że funkcja x\mapsto x\sin^2\left(\frac\pi{2x}\right) jest malejącą na przedziale (2,\infty] , a tego dowodzimy "tak, jak zawsze" - liczymy pochodną i wy...

1-\frac1e Garść zadań powiązanych: Dla permutacji p, jak wyżej, niech K(p) będzie liczbą takich i z przedziału od 1 do 2n-1, że |p(i)-p(i+1)|=n . Dla każdego k=0,1,2,... obliczyć \lim_{n\to\infty}P(K(p)=k) Obliczyć wartość oczekiwaną K(p). Obliczyć wariancję K(p). (Te dwie ostatnie rzeczy są prosts...