Matematyka.pl

Nie bardzo rozumiem. Czy mogę zastosować tw. G-O dla obszaru który jest normalny dla powiedzmy dla płaszczyzny Oxz , Oyz ale nie jest dla Oxy ? Będę wtedy liczył np taką całkę: \iint\limits_{D_{XiZ}} \, dx\,dz \int_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)} \left( {\partial X \over \partial x} +{\partial Y \over \partia...

Jeszcze tylko dla pewności się dopytam czy obszar ten musi być normalny względem trzech płaszczyzn \(\displaystyle{ Oxy}\), \(\displaystyle{ Oyz}\) i \(\displaystyle{ Ozx}\) jednocześnie ?

Chciałem się zapytać czy w przypadku twierdzenia Gaussa: \iint\limits_S (X\; dy dz + Y\; dz dx + Z\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial X \over \partial x} + {\partial Y \over \partial y} + {\partial Z \over \partial z} \right)\; dx dy dz można zawsze podzielić obszar V na obszary normalne wz...

Wydaje mi się że te zielone są ok.

Jeśli chodzi o te pomarańczowe to chyba można zrobić to tak:

Tylko powstaje pytanie czy można podzielić to na mniej części.

A te dwa skrajne są dobrze ? W książce twierdzenie zostało udowodnione dla obszarów które są normalne względem obu osi. A te skrajne są normalne względem jednej.

Twierdzenie Greena mówi że : \oint_{(l)}^{}X \mbox{d}x +Y \mbox{d}y =\iint\limits_{(D)} \left ( {\partial Y \over \partial x} - {\partial X \over \partial y}\right )\, dx\,dy W książce Leitnera to twierdznie jest udowodnione dla obszarów które są normalne dla obu osi Ox i Oy . Dla obszarów które nie...

Faktycznie wartość wyznacznika wychodzi: \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} + 2r \sqrt{4-r^2} więc wartość całki: \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \int_{0}^{2\pi} \mbox{d}\phi \int_{0}^{2}\left( \frac{2r^3}{\sqrt{4-r^2}} + 2r \sqrt{4-r^2}\right) \mbox{d}r = 2\pi \left[ -\frac{2}{3} \sqrt{4-r^2}(r^2-8) - \f...

Nie bardzo kumam terminologię której używasz (np. pull-back czy włożenie) ale sam sens liczenia całki jest dla mnie jasny. Z tym że jeżeli liczę kolejny strumień wektora F=[y,-2x,-z] przez półsferę z= \sqrt{ 4-x^2-y^2} , z \ge 0 zorientowaną na zewnątrz to wychodzi mi wynik inny niż w książce. Miano...

Obliczyć strumień wektora F=[3x,-y,z] przez płat paraboloidy z= 9-x^2-y^2 , z \ge 0 zorientowany zgodnie z osią Oz . Mam wzór taki: \iint\limits_{(S)} F_{n}(P) \, dS= \varepsilon \iint\limits_{(G)} [-X(x,y,z(x,y))z_{x}-Y(x,y,z(x,y))z_{y}+Z(x,y,z(x,y))] \, dx\,dy , gdzie F=[X,Y,Z] oraz \varepsilon=\{...

Napisałeś, że Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą . No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przes...

Faktycznie jest przeoczyłem. Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora F =[X,Y,Z] w przestrzeni na prostą l . Powinien wynosić X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma . Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D . Ale tutaj ...

No ale ja nie widzę równości pomiędzy:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\) a
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.

Czyli mamy: F=[X,Y] i V=[\cos \alpha,\cos \beta] F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] = X\cos \alpha+Y\cos \beta ,gdzie \alpha+\beta = \frac{\pi}{2} Z drugiej strony mamy: F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) = \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot \frac{F_{V}}{|F|}= F_{...

Poczytałem ale dalej nie wiem jak to zrobić. Proszę o jakąś bardziej konkretną podpowiedź.

Niestety dalej nie wiem jak to udowodnić. Wychodzą mi na rysunku różne trójkąty prostokątne ale nie potrafię z tego nic wywnioskować. Chciałem wrzucić obrazek ale wyskakuje mi komunikat:"Określenie wymiarów obrazka nie było możliwe." Proszę o dalsze podpowiedzi.