Matematyka.pl

Mamy więc 1=\sqrt{\frac{{2}}{2}}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{|a|^2+|b|^2}{2}}\geqslant \frac{|a|+|b|}{2}}\geqslant \frac{|a+b|}{2}} czyli 1\geqslant \frac{|a+b|}{2}} czyli |a+b|\leqslant 2 c.n.u. I teraz tak: w pierwszym przejściu od lewej korzystam z założenia czyli że a^{2}+b^{2}...

Rzeczywiście. micholak ma rację
w takim razie usunięcie symbolu nieoznaczonego z pierwszego wyrażenia tym bardziej Ci się przyda

\(\displaystyle{ \frac{2(x- \sqrt{2-x})}{x-1}}\) =\(\displaystyle{ \frac{2(x- \sqrt{2-x})(x+ \sqrt{2-x})}{(x-1)(x+ \sqrt{2-x})}}\) =
=\(\displaystyle{ \frac{2(x^2-2+x)}{(x-1)(x+ \sqrt{2-x})}}\)=\(\displaystyle{ \frac{2(x- 1)(x+2)}{(x-1)(x+ \sqrt{2-x})}}\)=\(\displaystyle{ \frac{2(x+2)}{(x+ \sqrt{2-x})}}\)

i wszystko ładnie wychodzi

Na pierwszy rzut oka wydaje mi się, że jest tak:
lim \(\displaystyle{ x+e^\frac{1}{1-x}}\) = +∞
więc lim f(x) przy x zmierzającym(z prawej strony) do 1 nie jest równa f(1) więc funkcja nie jest ciągła w tym punkcie. Reszty już nie musisz rozpatrywać

w pierwszym przykładzie granica wynosi 0.

drugie szacowanie (to w którym Ci wychodzi 1) jest oczywiście błędne. Zauważ, że
szacowanie z dołu w tym przypadku jest większe nawet niż szacowanie z góry w pierwszym ciągu nierówności(tym w którym wychodzi 0 - będące poprawnym wynikiem)!!

jeśli chodzi o ten przykład z pierwiastkiem to wychodzi 3.
ograniczasz z dołu przez pierwiastek n-tego stopnia z 3^n a z góry przez
pierwiastek n-tego stopnia z 2*3^n

zgadza się.granicą jest 1. Przytoczyć dowód? (zajmie to chwilę bo jest długawy:)

polskimisiek użył tzw. kongruencji. Poczytaj sobie o tym. temat nietrudny ale bardzo przydatny w tego typu zadaniach