Matematyka.pl

1 . Niech p będzie ustaloną liczbą pierwszą. Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite n , dla których wielomian W(x) = x^4 - 2(n+p)x^2 + (n-p)^2 może być zapisany w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych. 2 . Okrąg \omega o środku I wpisany w czworokąt wypu...

Jeszcze inaczej. Chcemy wybrać niepusty podzbiór \lbrace 1, 2, \ldots , n\rbrace z wyróżnionym elementem. Na ile sposobów można to zrobić? Z jednej strony sumujemy po wielkości podzbioru i wyróżniamy pewną liczbę, czyli dostajemy \sum_{k=1}^{n} k{n \choose k} . Z drugiej strony możemy na początku wy...

Zauważmy, że dla 2 \le x, y, z \le 3 zachodzi: \frac{x^2+y^2-z^2}{x+y-z} \le x+y-2 Istotnie, po wymnożeniu (mianownik jest dodatni) nierówność jest równoważna: 2(x-2)(y-2) + (z-2)^2 \ge (z-2)(x+y-6) Co jest prawdą bo lewa strona jest nieujemna a prawa niedodatnia (drugi czynnik jest niedodatni). Sum...

i) Rozpatrzmy dowolną liczbę pierwszą p , wówczas w rozkład (3a)!(4b)! na czynniki pierwsze wchodzi ona z wykładnikiem \sum_{n \ge 1} \left( \lfloor \frac{3a}{p^n}\rfloor + \lfloor \frac{4b}{p^n} \rfloor \right) , a w rozkład mianownika z wykładnikiem 4\sum_{n \ge 1} \lfloor \frac{a}{p^n} \rfloor + ...

Zauważ, że: (1-e^x)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k e^{kx} Różniczkując po x dostajemy: -n(1-e^x)^{n-1}\cdot e^x = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^k\cdot k\cdot e^{kx} Wstawiając n = 200 oraz k = \ln3 dostajemy: \sum_{k=0}^{200} {200 \choose k} k\cdot (-3)^k = 200\cdot 2^{199} \cdot 3

Zastanów się o co właściwie pytasz, bo padła już odpowiedź na 3 różne pytania. Teraz padło kolejne. Nie, przecież Zahion podał kontrprzykład, dla \(\displaystyle{ q = 5}\) liczba \(\displaystyle{ (2q)!-1}\) nie jest pierwsza.

To, że liczba \(\displaystyle{ (2q)!-1}\) dla \(\displaystyle{ q > 1}\) ma dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) wynika z tego, że sama jest takiej postaci. Jakby posiadała same dzielniki pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\) byłaby jako iloczyn takich liczb również takiej postaci.

\(\displaystyle{ (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 \Rightarrow xy+yz+zx = 0}\)

\(\displaystyle{ 7 = x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz = 7\cdot 49 + 3xyz \Rightarrow xyz = -112}\)

Można też tak:

\(\displaystyle{ 13^{404} + 32^{602} = 13^{404} + 2^{3010} = (13^{202}+2^{1505})^2 - 2\cdot 13^{202}\cdot 2^{1505} = \\ \\ = (13^{202}+2^{1505})^2 - (13^{101}\cdot 2^{753})^2 = \\ \\ = (13^{202}+13^{101}\cdot 2^{753}+2^{1505})(13^{202}-13^{101}\cdot 2^{753} + 2^{1505})}\)

Mamy n liczb, możliwych reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ n}\). Stąd wynika, że albo pewna liczba daje resztę \(\displaystyle{ 0}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\), czyli teza, albo pewne dwie dają równe reszty, ale wtedy ich różnica jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\), czyli też nasza teza.

Ewentualnie można ułożyć bajkę. Mamy n chłopców i m dziewczyn, chcemy wybrać drużynę składającą się z k osób, na ile sposobów możemy to zrobić? Z jednej strony jest to po prostu {n+m \choose k} . Z drugiej strony możemy zsumować liczbę takich drużyn w których jest 0, 1, 2, ..., k chłopców, suma ta w...

Rozpatrz liczby:

\(\displaystyle{ a_1 \\ a_1+a_2 \\ a_1+a_2+a_3 \\ ... \\ a_1+a_2+a_3+...+a_n}\)

Ile ich jest? Ile jest różnych reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\)? Co z tego wynika?