Matematyka.pl

Można też rozważyć \(\displaystyle{ [0,1)}\) w \(\displaystyle{ [0,1]}\) i \(\displaystyle{ [0,1)}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) (jako kontrprzykład dla tezy, że homeomorficzność zbiorów przenosi się na wnętrza).

Nie ma to większego sensu. Jeszcze raz. Mamy relację \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N} . Relacja ta jest zatem funkcją (zgodnie z definicją funkcji), gdy dla każdego elementu A \in P(\mathbb{N}) istnieje x \in \mathbb{N} taki, że A \approx x . Prościej mówiąc: relacja ta jest funkcją \...

A co to za zapis? Chyba powinno być tak: A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ \mbox{x jest iloczynem wszystkich elementów z A} A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy S, R, r czy \approx to nie ma to żadnego znaczenia. To nie jest prawdą. C...

Udowodnij (znajdź dowód), że rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych stanowi bazę przeliczalną w \mathbb{R} . Inaczej mówiąc każdy zbiór otwarty U w \mathbb{R} jest postaci U=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} (a_n,b_n) dla pewnych liczb wymiernych a_n,b_n , n \in \mathbb{N} . Stąd |\mathcal{U}| ...

Co to znaczy x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset ? Jak to się ma do definicji zbioru pustego? Przede wszystkim relacja ta jest określona nie na kwadracie tego samego zbioru lecz na produkcie dwóch różnych zbiorów. Z zadania wynika, że \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N} . Sprawdź, co się d...

Jakie rozumowanie? Napisałaś, że wydaje Ci się, że można z czegoś korzystać, ale żadnego rozumowania tu nie zawarłaś. Pewnie można skorzystać. Ale nie widzę potrzeby. Poza tym, to co napisałaś ma się tak do zupełności jak środa do środowiska, czyli niewiele. Pokaż, że |d(x,A)-d(y,A)| \leq |x-y| dla ...

Elvis pisze:4. Czy przez metrykę dyskretną rozumiesz \(\displaystyle{ d(x,y) = \delta_{xy}}\)? Jeśli tak, to każdy zbiór jest domknięty i ograniczony. A w metryce kolejowej podany zbiór jest domknięty i nieograniczony.

Dualny91, metryka kolejowa akurat nie jest równoważna euklidesowej.

Sorry, myślałem o metryce taksówkowej

1. To, co orzeka definicja. Sprawdzasz, że dowolny ciąg Cauchy'ego jest zbieżny. 2. Nie wiem, co to za pomysł... Masz jasno określoną definicję: z każdego ciągu masz wybrać podciąg zbieżny. 3. Żeby sprawdzić spójność, musisz znać postać zbiorów otwartych w danej przestrzeni. Jeśli wiesz, jak te zbio...

Co to znaczy, że X jest domknięta? Każda przestrzeń topologiczna jest domknięta. Zakładasz, że X jest przestrzenią liniowo-topologiczną oraz Y jej podprzestrzenią liniową (skoro mowa o przestrzeni ilorazowej). Chcesz, by X/Y wraz z topologią ilorazową była liniowo-topologiczna. Jedyny dowód jaki zna...

Funkcja z a) jest nieparzysta.

Zrób dokładnie to, co jest w klasycznym argumencie przekątniowym Cantora. Przypuść przeciwnie, tj. że funkcji tych jest przeliczalnie wiele (ponumerujmy \(\displaystyle{ (f_n)_n}\)) i skonstruuj funkcję \(\displaystyle{ f}\), która od każdej funkcji \(\displaystyle{ f_n}\) różni się na \(\displaystyle{ n-}\)tym arugmencie (tj. \(\displaystyle{ f_n(n) \neq f(n)}\)).

Skonstruuj zbiór, powiedzmy D \subset [0,1] tak by D^d=\{1-\frac{1}{2^n} \colon n \in \mathbb{N}\} \cup \{1\}. ( D^d to pochodna zbioru D , a więc właśnie zbiór punktów skupienia) No więc niech (a_{k}^{1})_k będzie rosnącym ciągiem liczb z [0,frac{1}{2}) zbieżnym do \frac{1}{2} , niech (a_{k}^{2})_k...

Oczywiście. To nie jest trudne.

Zacznij od określenia topologii w produkcie, czy inaczej wyznaczenia odpowiedniej metryki.

Oczywiście chodziło mi o permutację z powtórzeniami.