Matematyka.pl

1. Załóżmy, że teza nie jest prawdziwa, czyli dla dowolnego c>0 istnieje para (m,n) liczb naturalnych taka, że |\sqrt[3]{2}-\frac{m}{n}|\leq \frac{c}{n^3} . Przyjmijmy w dalszej częśći dla wygody \alpha=\sqrt[3]{2} . Widzimy więc, że dla dowolnej liczby c>0 istnieją m,n naturalne takie, że \alpha\c...

Z pierwszej własności danej funkcji wynika, że dla każdej liczby y \ge 0 istnieje taka liczba x że y=f(x) . Z drugiej własności opisanej w treści zadania po podstawieniu mamy więc y=f(y) tak więc funkcja szukana ma wzór f(x)=x dla x \ge 0 . Z trzeciej opisanej własności wynika że funkcja jest parzy...

1. Nie wprost załóżmy, że dla każdego c>0 istnieje para liczb (m,n) taka że m,n \in \mathbb Z, n>0 oraz \left| \sqrt[3]2 - \frac{m}{n} \right| \le \frac{c}{n^3} Wówczas \left| \sqrt[3]2 - \frac{m}{n} \right| \le \frac{c}{n^3} \iff \\ \left| n \sqrt[3]2 - m \right| \le \frac{c}{n^2} \iff \\ \left( n...

Konkurs W dowodzie skorzystamy z (dość znanego) twierdzenia Liouville'a o aproksymacji diofantycznej: Jeśli \alpha jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu f stopnia n > 0 o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista A > 0 taka, że dla dowolnych liczb całkowityc...

Uściślenie:
W zadaniu 3 kategorii II - licealista powinno być: "Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną nieparzystą".
Przepraszamy za ten drobny błąd.

Konkurs matematyka.pl [/size] Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was drugą edycję konkursu. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, otwarta. Regulamin Konkurs trwa od 18:00 08.01.2011 do 23:59 06.02.2011 W ...

W sobotę wieczór zamieścimy szczegółowy regulamin oraz zadania Konkursu 2011 matematyka.pl Konkurs będzie podzielony na trzy kategorie: - gimnazjum, przeznaczoną dla osób, które jeszcze go nie ukończyły - liceum, (j. w.) - otwartą Osoby, które zdobędą największą liczbę punktów (po 4 osoby z każdej k...

Tak, jak poprzednia edycja.

Rozgrzewka dobiegła końca, poniżej prezentujemy listę laureatów, w kolejności od najlepszej pracy: limes123 szydra silvaran Jednocześnie miło jest nam oznajmić, że zdecydowaliśmy poszerzyć pulę nagród - każdy z laureatów będzie mógł wybrać sobie koszulkę sygnowaną logo matematyka.pl. Wszystkim uczes...

Niebawem ruszy konkurs matematyka.pl, jednak zanim to nastąpi - mała rozgrzewka. Zachęcamy wszystkich do udziału w konkursie! Zadania: Ciąg a_1, a_2, a_3, \ldots dodatnich liczb całkowitych jest wyznaczany przez swoje dwa pierwsze wyrazy oraz zależność rekurencyjną a_{n+2} = \frac{a_{n+1} + a_n }{\n...

Sprawdzanie nadesłanych prac dobiegło końca. Dziękujemy bardzo za liczny udział w konkursie . Uwagi dotyczące wszelkich spraw związanych z konkursem nie pozostają oczywiście niezauważone i jest to dla nas cenne źródło wiedzy na przyszłość. Poniżej lista wyników: \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c} \multi...

Link:

1) Udowodnimy najpierw nierówność Schwarza dla całek funkcji ciągłych, pokażemy również warunki, przy których zachodzi równość. Niech f(x) \ i \ g(x) będą funkcjami ciągłymi, w sposób oczywisty zachodzi poniższa nierówność (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny): (\lambda f(x) + g(x))^2 \ge 0 \...

zad.1 \begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2}\\ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+2(x-y)^2} \\ x,y \in R \end{cases} \\ xy-x^2y^2=xy(1-xy)>0\\ xy(1-xy)>0\\ xy>\frac{0}{1-xy} \qquad \Rightarrow xy>0\\ 1-xy>\frac{0}{xy}\\ 1-xy>0 \qquad \Rightarrow 1>xy \\ \Rightarrow 0<xy<1\\ 0<y< \frac{1}...

Przyjmowanie zadań jest już zamknięte. Można zatem dowolnie o nich dyskutować.

Dziękujemy za nadesłane rozwiązania, wyniki wkrótce!