Matematyka.pl

To znaczy powinienem składać ze sobą symetrie i obroty, aż wyjdzie mi identyczność? Bo próbowałem wymyślić coś podobnego do tego: www.matematyka.pl/313673.htm ale przecież tu nie ma żadnych dzielników więc się nie da w ten sam sposób...

Jak wyznaczyć podgrupy grupy izometrii własnych kwadratu \(\displaystyle{ G=\{id, S_1, S_2, S_3, S_4, O_1, O_2,O_3\}}\)
Jest na to jakiś szybki sposób czy trzeba sprawdzać wszystko z definicji?

Co w przykładzie c) oznacza \(\displaystyle{ A_3}\) i \(\displaystyle{ S_3}\)?

Ok. Tylko skąd mam wiedzieć jakie działanie mam zastosować, skoro nie podają nic w poleceniu, tylko "Wyznacz warstwy prawostronne grupy G względem grupy H", nie ma nic napisane że względem dodawania, a w tym przykładzie wyżej się dodaje. Na przykład gdybym miał G=\mathbb{Z}_{12}, H=\{0,4,8...

Wyznacz wszystkie warstwy prawostronne grupy G=\mathbb{Z} względem grupy H=5\mathbb{Z} Na ćwiczeniach wyznaczyliśmy to: 0+H=\{0,5,10,15...\}=\{5k,k\in\mathbb{Z}\} \\ 1+H=\{1,6,11,16...\}=\{5k+1,k\in\mathbb{Z}\} \\ 2+H=\{5k+2,k\in\mathbb{Z}\} \\ 3+H=\{5k+3,k\in\mathbb{Z}\} \\ 4+H=\{5k+4,k\in\mathbb{Z...

A gdybym miał wyznaczyć podgrupy grupy \mathbb{Z}_8 to by wyszło: \{0\},\mathbb{Z}_8, \{0,2,4,6\},\{0,4\} i \left\langle 1\right\rangle \simeq\left\langle 3\right\rangle\simeq\left\langle 5\right\rangle \simeq\left\langle 7\right\rangle \\ \left\langle 2\right\rangle \simeq\left\langle 6\right\rangle

Aha czyli \(\displaystyle{ \left\langle 2\right\rangle=(\{0,2,4\},+_6)}\) bo reszty z dzielenia wielokrotności 2 przez 6 mogą wynosić tylko \(\displaystyle{ 0,2,4}\), to już chyba wiem o co chodzi

A jak wyznaczyłeś np \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle=\left( \{0,1,2,3,4,5\},+_6\right)}\), tak w pamięci?

Nie wiem, w poleceniu mam wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy \mathbb{Z}_6 ... No na pewno nie będą to wszystkie zbiory utworzone z \{0,1,2,3,4,5\} , bo odpadają już wszystkie te, które nie mają zera, więc trzeba sprawdzić wszystkie które mają zero i jedną lub więcej liczb z \{1,2,3,4,5\} . Tylko że ...

Jak wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy \mathbb{Z}_6 . To znaczy czy da się to zrobić jakoś szybciej niż wypisując wszystkie możliwe zbiory utworzone z liczb 0,1,2,3,4,5 (a troche tego jest) i sprawdzanie, czy są spełnione warunki? Niby wiem, że do tego zbioru napewno musi należeć 0 , bo jest element...

Dobra, już wiem o co chodzi... Dla \(\displaystyle{ n=5,a=4}\) jeżeli elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ n-a}\), to \(\displaystyle{ (4+5-4)_5=0}\) i \(\displaystyle{ b=5-4\in G}\)
ale dla \(\displaystyle{ n=10,a=4}\) jest \(\displaystyle{ (4+10-4)_5=0}\) i \(\displaystyle{ b=10-4=6\notin G}\)
dlatego to się nie sprawdza, w takim razie przyznaje Ci rację, sorry za zawracanie głowy

Ale przecież \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\) to zbiór reszt z dzielenia przez n, wiadomo że n nie należy do tego zbioru, ale reszta z dzielenia n przez n, która wynosi 0, już należy. Tylko co to ma za znaczenie.

Ale czemu masz tam mnożenie? Przecież w zadaniu mamy dodawanie, więc \(\displaystyle{ 2+4-2=4}\) i reszta z dzielenia liczby 4 przez 4 daje 0

Też tak myślałem na początku, ale warunek \(\displaystyle{ (a+b)_n=0}\) spełnia nie tylko \(\displaystyle{ b=n-a}\), ale też np \(\displaystyle{ b=2n-a, b=3n-a...}\) Reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 2n}\) albo \(\displaystyle{ 3n}\) przez n też daje 0.

1. łączność korzystam z tego że (x)_n=(y)_n \Leftrightarrow n|(x-y) , oraz n|(x-(x)_n) (a+_n b)+_n c=(a+b)_n+_n c=\left( (a+b)_n+c\right)_n \\ a+_n (b+_n c)=a+_n (b+c)_n=\left( a+(b+c)_n\right)_n teraz sprawdzam, czy obie strony są równe: \left( (a+b)_n+c\right)_n \stackrel{???}=\left( a+(b+c)_n\rig...