Matematyka.pl

Zależy od interpretacji definicji. Ja bym dał odpowiedź, że jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{-n: n\in\mathbb{N}\}}\).

Dla \(\displaystyle{ x<0}\) możesz badać zbieżność w punktach innych niż liczby całkowite ujemne, a na upartego to nawet w tych punktach się da, tylko trzeba pominąć jeden nieokreślony składnik.

Kryterium Leibnitza.

Z rozpędu źle wpisałem w pierwszym poście. Powinno być od zera. Nie wiem czemu, ale nie mogę edytować.

No tak, doszło do nieporozumienia dlatego, że niektórzy nazywają różniczkę pochodną Frecheta. Chodzi o ciągłość funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto Df(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ Df(x)}\) jest różniczką w punkcie \(\displaystyle{ x}\). Wtedy mówimy, że funkcja jest klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\).

To może zadam jeszcze jedno pytanie, jak już ktoś odpowiedział. Czy jeśli funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe w każdym punkcie x\in D (Tym razem jest to zbiór otwarty), to czy jest ona nie tylko różniczkowalna, ale też klasy C^{1} ? Mam na myśli ciągłość pochodnej Frecheta, czyli funkcji która każd...

Racja. Nie zauważyłem, że to ma być przy założeniu, że \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) jest zwarta. Poszukam jeszcze, może będzie tam dowód tej zupełności.

Niech f:D\rightarrow\mathbb{R}, D\subset\mathbb{R}^{n} będzie funkcją n -zmiennych. Ponadto zakładamy, że w każdym punkcie x\in D istnieją pochodne cząstkowe po każdej zmiennej. Czy stąd wynika ciągłość funkcji f ? Wydaje mi się, że do definicji pochodnych cząstkowych nie jest konieczna otwartość zb...

Udało mi się to pokazać. Był istotny błąd w moim rozumowaniu i dlatego mi nie wychodziło. Nie wiem jeszcze jak pokazać, że ta przestrzeń jest zupełna przy założeniu, że (X,\rho) jest zupełna.-- 16 kwi 2013, o 21:18 --Wykładowca podał mi książkę, w której ma to być opisane. Micheal Barnsley "Fra...

Dodam jeszcze, że nie można mówić o zbieżności punktowej na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), gdyż każda z funkcji \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest nieokreślona w punkcie \(\displaystyle{ -n}\).

Działa, dziękuję.

a) \(\displaystyle{ |\sin\frac{x}{2^{n}}|\le\frac{|x|}{2^{n}}}\)

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}4^{n}}}\)

Z d'Alemberta jak się nie pomyliłem to wychodzi 1. Cauchy'ego nie liczyłem, bo wyjdzie tyle samo co w d'Alembercie.

Nie jest zbieżny przy \(\displaystyle{ x=-1}\). Trzeba bardziej pokombinować.