Matematyka.pl

Moje rozwiązanie wyżej nie jest poprawne, bo nie można tak sobie podnieść do kwadratu nierówności, nie wiedząc nic o x . Jeżeli x jest dodatnie, to wtedy podnosimy do kwadratu. Natomiast jeżeli x jest ujemne, to mamy dokładnie to, o czym mówił piasek101 - liczba ujemna jest na pewno mniejsza od pier...

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{2^n+5^n}{5^n+7^n} }= \frac{ \sqrt[n]{2^n+5^n} }{ \sqrt[n]{5^n+7^n} }}\)

Teraz już wiesz, jak ograniczyć licznik i mianownik?

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Zgadza się. To będzie nieskończenie wiele rozwiązań postaci: x=\arcsin \frac{\sqrt5}{5}+2k\pi \ \vee \ x=\left( \pi -\arcsin \frac{\sqrt5}{5} \right)+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z} . Można to wykombinować, rysując wykres, bo \sin x ma okres 2\pi , a poza tym \sin(\pi-x)=\si...

\(\displaystyle{ 4}\) jest podstawą drugiego logarytmu? Jeśli tak, to możesz zamienić \(\displaystyle{ \log(x+3)}\) na logarytm o podstawie \(\displaystyle{ 4}\).
\(\displaystyle{ \log_a b= \frac{\log_c b}{\log_c a}}\)
Potem skorzystaj z faktu, że różnica logarytmów to logarytm ilorazu.

Na kalkulatorze albo przy pomocy jakiegoś programu matematycznego. Dostaniesz przybliżony wynik.

\(\displaystyle{ x=\arcsin \frac{\sqrt5}{5}}\)

\(\displaystyle{ \sin\left( \arcsin x\right)=x}\)

Zatem rysujesz prostą \(\displaystyle{ y=x}\), przy czym \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\).

1) Dokładnie o to chodzi.

2) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \frac{x^3+x+1}{x-1}=\left[ \frac{3}{0^+} \right]=+\infty}\)

4) Skorzystaj z granicy specjalnej \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{e^x-1}{x}=1}\), masz ją udowodnioną tutaj (przykład 6).

1) \(\displaystyle{ \frac{2x^2-2x}{\arcsin(x-1)}= \frac{2x(x-1)}{\arcsin(x-1)}}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t=x-1}\) i korzystasz z granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1}\).

2) Rozbij to na 2 przypadki (wartość bezwzględna) i oblicz granice jednostronne.

3) \(\displaystyle{ e^{-\infty}}\) dąży do zera, \(\displaystyle{ e^\infty}\) do nieskończoności.

Początek masz dobry.
\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+2)^2\neq 0}\) - masz 2 nawiasy i każdy z nich przyrównaj do zera.

\(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt2}{2-\sqrt5}}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{2+\sqrt5}{1+\sqrt2}}\).

Powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+2)^{2} \neq 0}\) jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ (x-1)^{2}\neq 0}\) i \(\displaystyle{ (x+2)^{2} \neq 0}\).

Przyrównujesz każdy z tych nawiasów do zera. Co otrzymujesz?

a) Rozwiąż 2 osobne nierówności (tak będzie łatwiej): 3^{-1}<3^{x^2-3x+1} oraz 3^{x^2-3x+1}\le 3^{9-x} . Zauważ, że skoro 3^{-1}<3^{x^2-3x+1} , to po zlogarytmowaniu stronami zostaje -1<x^2-3x+1 i dalej już łatwo. Podobnie druga nierówność. b) Prawa strona nierówności to: \frac{4\sqrt{10}}{125}= \fr...

Zastanów się, co szybciej zbiega do nieskończoności: \(\displaystyle{ 4^x}\), czy \(\displaystyle{ 20033^x}\).

Zgadza się, wyjdzie równanie trzeciego stopnia \(\displaystyle{ t^3-2t^2-53t-90=0}\).

Niestety nie widzę szybszego sposobu niż szukanie pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego (pasuje np. \(\displaystyle{ -2}\)).

Skorzystaj z warunku dla ciągu arytmetycznego: \(\displaystyle{ 2a_2=a_3+a_1}\).
Podstaw wyrazy ciągu podane w zadaniu. Aby rozwiązać równanie, podstaw \(\displaystyle{ t=3^x}\) (wtedy \(\displaystyle{ t^2=3^{2x}}\) i masz równanie kwadratowe).