Matematyka.pl

Ten algorytm to fakt 2.13.

Zadanie jest nie do zrobienia dla pierścieni całkowitych, ale jeśli poprawisz błąd w treści (\(\displaystyle{ P}\) ma być pierścieniem Euklidesa), to wystarczy użyć algorytm Euklidesa.

Mnożenie liczb naturalnych jest wielokrotnym dodawaniem. Dlatego jeśli a, b są dodatnie, to piszemy (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -ab . Tę regułę oraz (-a)(-b) = ab można łatwo wyyprowadzić. Mamy 0 = a \cdot 0 = a \cdot(b - b) = a\cdot b + a \cdot(-b) , więc a \cdot (-b) = - (a \cdot b) . Stosując d...

Komuś się pomylił produkt z sumą.

\(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (1+3n+n^2)^2}\).

Dla przyszłych czytających: ... ating.html Nie odpowiada to wprawdzie na Twój problem (chyba), ale pokazuje, że dwa najpopularniejsze sposoby sortowania są niewłaściwe.

Zastosuj algorytm Euklidesa.

Ale Twoje ciało ma 25 elementów. Wtedy grupa \(\displaystyle{ K^*}\) ma rząd 24 i element \(\displaystyle{ 2+ 2x^2}\) nie być rzędu \(\displaystyle{ 5}\), ponieważ \(\displaystyle{ 5 \nmid 24}\).

Nie umiem. Pewnie miał na myśli małe twierdzenie Fermata: a^p \equiv a \mod p . Jest ono prawdziwe dla naturalnego a i pierwszego p , przez co kolega ma błąd w pierwszej linijce: (2+2x^2)^5 = 2 + 2x^10 = -81088 - 302632 x = 2 + 3x \neq 1 . Wielomian biorę kolejno: modulo 5 , x^2+4x+1 , 5 . Dopiero (...

W pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \mathbb Z_5[x] / (x^2+4x+1)}\) mamy równość \(\displaystyle{ 0 = x^2 +4x+1}\), ponieważ oba wielomiany leżą w jednej warstwie. Stąd też \(\displaystyle{ x^2 = -4x-1}\).

Można też skorzystać z interpretacji geometrycznej, szybciej daje wynik i nie trzeba liczyć delty.

Skorzystaj raczej z tego, że \(\displaystyle{ x^2 = -4x-1}\), a nawet \(\displaystyle{ x^2 = x-1}\). I tak w pierwszym przykładzie liczymy:

\(\displaystyle{ 2^7 (1+x^2)^7 = 128 (-4x)^7 = 3x^7 = 3x (x^2)^3 = 3x (x-1)^3 = 2 x - x^2 + x^3 - 2 x^4 = \ldots = 3x}\).

Ideał to pojęcie związane z pierścieniami, tutaj mamy do czynienia z grupą. Element jest neutralny, jeśli (tak jak piszesz) dla każdego elementu grupy \(\displaystyle{ g \in G}\) mamy \(\displaystyle{ eg=ge = g}\).

Teraz pomyśl, jaki jest element neutralny w grupie \(\displaystyle{ S_6}\)? Ile to jest \(\displaystyle{ f(e)}\)?

Funkcja \(\displaystyle{ \mathbb R \to \mathbb R}\) o ograniczonej pochodnej jest lipschitzowska. Jeśli funkcja wielu zmiennych jest lipschitzowska względem każdej ze zmiennych z osobna, jest też lipschitzowska.

NWD wynosi \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ wielomiany te nie mają wspólnego czynnika w rozkładzie na nieprzywiedlne.

Niech dąb będzie drzewem takim, że dla dowolnego liścia, jabłko oraz gruszka. Wtedy drzewo to jest zielona. Tak widzę to zadanie.