Matematyka.pl

Rozumiem, że traktujesz grupy abelowe jako \mathbb Z -algebry. Można i tak. Grupa \mathbb Z jest cykliczna, ale \mathbb Z^2 . Istotnie, załóżmy, że (m,n) generuje tę grupę.Wtedy każda inna para jest wielokrotnością postaci (km, kn) , ale tak być nie może. Jasne jest, że m\neq 0 \neq n . Ponadto, par...

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ [x]}\) część całkowitą z liczby \(\displaystyle{ x}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 5 = [5.69] = [2.3 \cdot 2.3] \neq [2.3] \cdot [2,3] = 2\cdot 2 = 4}\), a więc odwzrowoanie to nie jest homomorfizmem pierścieni bo nie jest multyplikatywne.

Przez algebrę zdarzeń zwykle rozumie się pojawiającą się w definicji przestrzeni probabilistycznej.

Spróbujmy zastosować tutaj twierdzenie Stone'a-Weiestrassa, które mówi że każdy podpierścień z jedynką algebry C(X) funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej X , który rozdziela punkty jest gęsty jednostajnie. Rozważamy tutaj pierścień z jedynką generowany przez funkcję kwadratową (oraz X=[0, 1/2] ). ...

Niech S będzie rzeczoną izometrią oraz niech Tx = Sx - S0 . Wówczas T jest izometrią bo \|Tx - Ty\| = \|Sx - S0 - Sy + S0\| = \|Sx-Sy\| = \|x-y\| oraz, oczywiście, T0=0 . Wykaż, że T zachowuje iloczyn skalarny: \begin{array}{lcl}\langle Tx, Ty\rangle &=& \tfrac{1}{2}(\|Tx\|^2 + \|Ty\|^2 - \|...

Ścisła wypukłość przestrzeni unormowanej oznacza tyle, że jej sfera nie zawiera nietrywialnego odcinka. https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_%C5%9Bci%C5%9Ble_wypuk%C5%82a znajdziesz listę równoważnych warunków. Twoje zadanie to wynik Bakera z 1971: J. Baker, , American Math. Monthly 78 (197...

Możesz wykazać, że jeżeli T\colon X\to X jest ciągłą bijekcją na przestrzeni unormowanej X o tej własności, że \|Tx + Ty\| = \|x+y\| dla wszelkich x,y\in X , to T jest odwzorowaniem liniowym. Polecam też Twojej uwadze wzmocnienie twierdzenie Mazura-Ulama udowodnione przez Figla: T. Figiel, On nonlin...

Zauważmy, że ścisła wypukłość przestrzeni sprowadza się do następującego warunku: brzeg kuli (tj. sfera) nie zawiera żadnego niezdegenrowanego odcinka. Rzeczywiście, mówi się czasami o ściśle wypukłych ciałach wypukłych (czy ogólniej zbiorach), tj. zbiorach wypuklych mających powyższą własność. Taką...

Atiyah jest jednym z moich ulubionych matematyków współczesnych; wolałbym by pamiętano go ze względu na jego twierdzenie z Singerem o operatorach Diraca czy K-teorii niż z tego występu... Sam spotkałem go dwa razy w Heidelbergu (2013, 2014) i o ile towarzysko wypadał znakomicie (tj. brak oznak demen...

Wszystko zależy co rozumiesz przez to kim jest matematyk - jeżeli masz na myśli człowieka, który pracuje naukowo w tzw. matematyce czystej to dowolny język oprogramowania wystarczy by okazjonalnie przeprowadzić jakieś symulacje (dlatego Python wydaje się dobrym wyborem ze względu na bogactwo bibliot...

Ciąg ten nie jest zbieżny w normie bo \|e_j - e_k\|=1 dla j\leq k . Ciąg ten jest jednak zbieżny słabo do 0. Rzeczywiście, dla (\xi_j)_{j=1}^\infty\in \ell_1 \cong c_0^* mamy \langle e_k, (\xi_j)_{j=1}^\infty\rangle = \xi_k \to 0 gdy k\to\infty ponieważ ciągi sumowalne są zbieżne do zera, co dowodzi...

Zastosuj po prostu by uzasadnić, że kula w przestrzeni nieskończenie wymiarowej nie jest zwarta.

mundson pisze:A znacie jakiś przystępny przykład na to, że złożenie funkcji pierwszej klasy Baire'a z funkcją ciągłą nie musi być pierwszej klasy Baire'a?

A dlaczego wnosisz, że tak ma być?

Nie potrzeba nawet twierdzenia Baire'a by pokazać coś mocniejszego. Baza Hamela nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha ma moc co najmniej continuum.

• H. Elton Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.

Zauważ, że \|f\|\leqslant 1 bo gdy wszystkie wyrazy (x_n) są na moduł nie większe niż 1, to |f(x_n)_{n=1}^\infty| \leqslant \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1. Jest to istotnie norma f ponieważ jeżeli g_n oznacza ciąg jedynek na pierwszych n miejscach po których następują same zera to \|g_n\| = 1 o...