Matematyka.pl

2.Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18cm. Przekątne graniastosłupa mają długość 9cm i pierwiastek z 33cm, a krawędź boczna ma długość 4cm. Oblicz objętość graniastosłupa. 1. Ponieważ podana jest krawędź boczna graniastosłupa prostego, to H=4 2. Dwukrotnie z tw. Pitagora...

1. Z postaci iloczynowej \(\displaystyle{ y=f(x)=a(x+3)(x-5)}\)
2. Ponieważ \(\displaystyle{ x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}\), to \(\displaystyle{ x_{w}=1}\)
3. Z treści \(\displaystyle{ f(x_{w})=12}\), czyli \(\displaystyle{ a(1+3)(1-5)=12}\). Zatem \(\displaystyle{ a=\frac{12}{-16}}\)

A może?
Zauważmy, że wysokość większego z trójkątów (opuszczona na przeciwprostokątną) jest o \(\displaystyle{ 2\cdot c}\) większa od odpowiadającej jej wysokości mniejszego z trójkątów. Zatem skala podobieństwa \(\displaystyle{ k=\frac{h+2c}{h}}\) , gdzie \(\displaystyle{ h=\frac{ab}{c}}\).
Stąd odpowiedź (np. \(\displaystyle{ a'=\frac{2a^2+ab+2b^2}{b}}\))
Pozdrawiam

Z algorytmu Euklidesa:
\(\displaystyle{ NWD(3n+2;7n+3)=NWD(4n+1;3n+2)=...=NWD(5,n-1)}\)
Aby był równy 1, liczba \(\displaystyle{ n-1}\) nie może być podzielna przez 5. Stąd odpowiedź.
Pozdrawiam

Rekurencyjnie:
dorysowana k-ta prosta "dokłada" k części. Zatem \(\displaystyle{ c_{1}=2}\) oraz \(\displaystyle{ c_{n+1}=c_{n}+(n+1)}\).
Można wskazać wzór iteracyjny (ogólny) tego ciągu:
\(\displaystyle{ c_{n}=2+3+4+.....+n=1+\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n^2+n+2}{2}}\)
Pozdrawiam
PS. Korzystałem z arytmetyczności ciągu składników sumy.

a) nie, bo jest równy \(\displaystyle{ a= 10^{100}+11}\)
b) nie, bo jest równy co najmniej 9
c) tak - z algorytmu Euklidesa podejrzany jest jeszcze dzielnik 11, ale nie dzieli on żadnej z danych liczb.
Pozdrawiam

Zbiór rozwiązań układu nierówności obrazuje w \(\displaystyle{ R^2}\) czworokąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,5),(0,0),(5,0)i(4,3)}\). Zatem - po narysowaniu obrazów rozwiązań kolejnych nierówności -
a) tak; b) nie; c) tak; d) nie.
Pozdrawiam

Zrobiłem dosyć staranny rysunek i .... doszedłem do wniosku, że teza zadania jest fałszywa!
Pozdrawiam
[edit] rysunek był niedostatecznie staranny

Załóżmy, że pola części wspolnych par wielokątów są równe odpowiednio S_{1} , S_{2} i S_{3} ; przy czym niech każde z tych pól będzie mniejsze od 1. Wtedy pole mnogościowej sumy tych figur jest równe 3\cdot 3-S_{1}-S_{2}-S_{3} i jest większe od 3\cdot 3-1-1-1=6 co jest sprzeczne z założeniem (wielok...

Jeżeli uważasz, że n musi być parzyste, to dana liczba równa jest
\(\displaystyle{ 14^{2k}-3^2=(14^k-3)(14^k+3)}\)
Warunkiem koniecznym aby była pierwsza jest: jeden z czynników, co do modułu, musi być równy 1 - co nie zachodzi dla k całkowitych dodatnich.
Pozdrawiam