Matematyka.pl

Prawa nierówność równoważnie: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!} \le \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}= \frac{1+2+...+n}{n}}\), czyli po prostu nierówność pomiędzy średnia arytmetyczną a geometryczną dla liczb \(\displaystyle{ 1,2,3...,n}\).

Indukcyjnie można dowieść, że ogólny wyraz ciągu ma postać:

\(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2^{n-2}} \left( \frac{2^{n-2}+(-1)^{n-1}}{3} a + \frac{2^{n-1}+(-1)^n}{3} b \right)}\)

więc granica \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b}\).

źle, funkcja h równoważnie h(x)=\log_2 |x-3|-3 i przekształcamy kolejno funkcję f(x)=\log_2 x nakładamy na x wartość bezwzględną, czyli odbijamy symetrycznie względem OY wykres funkcji f : f_1(x)=\log_2|x| , następnie translacja o wektor [3,0] : f_2(x)=\log_2|x-3| , na koniec translacja o wektor [0,...

Z podobieństwa trójkątów \Delta DNQ \sim \Delta ABQ , masz \frac{DN}{AB}= \frac{QD}{BQ} , czyli równoważnie ponieważ AB=2DN : \frac{DN}{2DN}=\frac{1}{2}=\frac{QD}{BQ} , stąd (*) \ BQ=2QD . Zauważ, że BD=BQ+QD , czyli z (*) mamy 3DQ=BD \ \Rightarrow \ QD= \frac{1}{3} BD . Podobnie pokazujesz, że PB=\...

Skorzystaj z własności kątów wpisanych w okrąg opartych na tym samym łuku i pokaż, że podane trójkąty mają odpowiednio równe kąty.

Skorzystaj z podobieństwa trójkątów na jakie wysokość podzieliła wyjściowy trójkąt.

wsk. \(\displaystyle{ { 3n+3 \choose n+1}= {3n \choose n } \cdot \frac{3(3n+2)(3n+1)}{(2n+2)(2n+1)}}\)

w tym iloczynie \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} , czynnik \frac{2n-1}{2n} , pokazuje nam, że czynniki tego iloczynu tworzone są poprzez podstawienie za n odpowiednich liczb naturalnych, zatem dla n=1 , masz \frac{2 \cdot 1-1}{2 \cdot 2}= \frac{1}{2} (czyli pierwszy czyn...

w a) dla n=1 , mamy \frac{2\cdot 1 -1}{2} \le \frac{1}{\sqrt{2\cdot 1 + 1}} , czyli jest okay założenie T(n): \ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \le \frac{1}{\sqrt{2n+1}} teza T(n+1): \ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2(n+1)-1}{2...

Reszta musi być co najmniej o jeden stopnień mniejsza niż dzielnik, stąd jest to postać liniowa w naszym przypadku. Nasz wielomian wygląda w ten sposób w(x)=(x-3)(x+2)Q(x)+R(x) , podstawiając x=3 oraz x=-2 otrzymasz \begin{cases} w(3)=R(3) \\ w(-2)=R(-2) \end{cases} (to wynika jednoznacznie z tw. Be...

Zauważ, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez wielomian \(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\) jest postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\). Teraz wykorzystaj tw. Bezouta.

Wsk. \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x = \sin 2x}\), wykorzystaj to do przekształcenia lewej strony równiania

\(\displaystyle{ x^8+x^4+1= (x^8+2x^4+1)-x^4}\) dalej dasz radę

Robisz błąd w przejściu z trzeciej do czwartej linijki Twojego rozwiązania, powinno być dy= \frac{y^2+9}{x^3} dx , stąd \frac{dy}{y^2+9}=\frac{dx}{x^3} i dalej \int \frac{dy}{y^2+9} = \frac{1}{3} \arc tg \frac{y}{3} + C_1 \\ \int \frac{dx}{x^3}= -\frac{1}{2} x^{-2} + C_2 dalej wystarczy przekształci...

rozłóż na ułamki proste