Matematyka.pl

Sorry, moje pytanie może być trochę trywialne, ale jak wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{2\ln n}{\sqrt{n+1}}}\) jest malejący? Mi wychodzą jakieś nierówności typu \(\displaystyle{ n^{\sqrt{n+2}} > (n+1)^{\sqrt{n+1}}}\)

Ja wykorzystałem rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{2}{(n^3-n)3^n} = \sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{A}{n3^{n}} + \frac{B}{(n-1)3^{n}} + \frac{C}{(n+1)3^{n}} \right) 2 = A(n+1)(n-1) + Bn(n+1) + Cn(n-1) = (A+B+C)n^{2} + (B-C)n - A \begin{cases} A + B + C = 0\\B ...

Ja wyczytałem w książce Fichtenholza, że łączenie wyrazów w nawiasy (bez przestawiania wyrazów) jest dozwolone jeśli szereg jest zbieżny. To by się zgadzało z tym co jest napisane, szereg \sum_{n=13}^{\infty } (-1)^{\left[ \frac{n}{13} \right] } \frac{\ln n}{n \ln(\ln n)} jest zbieżny, więc można gr...

Wyszło mi, że ma sumę równą \(\displaystyle{ \frac{3}{2\sqrt{e}}}\). Trzeba było wykorzystać szereg Taylora i wzór na sumę szeregu geometrycznego

Ok już policzyłem. Dzięki wielkie
Teraz co prawda jak się ma sumę szeregu, nie trzeba już uzasadniać, że jest zbieżny, bo jak szereg ma skończoną sumę to jest zbieżny.

Tak będzie poprawnie? Szereg \sum_{k=2}^\infty \frac{(3/2)^k}{k!} jest zbieżny z kryterium Cauchy'ego \lim_{ k\to \infty} \frac{3/2}{\sqrt[k]{k!}} = 0 , czyli jest ograniczony. \left|S_n\right| = \left|\sum_{k=2}^n \frac{(-3/2)^k}{k!}\left|\leq \sum_{k=2}^\infty \frac{(3/2)^k}{k!} < M Dla wszystkich...

Gdyby nie było \(\displaystyle{ k!}\) w mianowniku to mielibyśmy sumę ciągu geometrycznego i sprawa by się uprościła.

Czy można by prosić o jeszcze jedną wskazówkę?

Dzięki za pomoc

Cześć, moje pytanie może być trochę trywialne. Jak wykazać (w elementarny sposób), że ciąg \(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n \ln(\ln n)}}\) jest malejący?

Mi wychodzą jakieś dziwne nierówności typu \(\displaystyle{ \left(n+1\right)^{n\ln \ln n} <n^{\left(n+1\right)\ln \ln (n + 1)}}\)

Cześć, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania. Uzasadnić zbieżność, obliczyć sumę szeregu \sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{n} (-2)^{-k} \cdot 3^{-n+k} \frac{1}{k!} \right) Próbowałem wykorzystać wzór dwumienny Newtona \sum_{k=2}^{n} (-2)^{-k} \cdot 3^{-n+k} \frac{1}{k!} = \sum_{k=2}^{n} ...

Trzeba po prostu wykorzystać wzorek \(\displaystyle{ \lim_{x_n \to 0} \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{ \sqrt[n]{n}-1 } = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}\ln n}{e^{\frac{1}{n}\ln n} - 1} \cdot \frac{n}{\ln n} = \infty}\)

Cześć, to zadanie było już tutaj https://www.matematyka.pl/353517.htm W książce Fichtenholza (tom 2) jest całkiem nieźle opisany iloczyn Cauchy'ego. Rozpisujesz iloczyny w ten sposób: a_1 b_1\ \ a_2 b_1 \ \ a_3 b_1 \cdots a_1 b_2\ \ a_2 b_2 a_1 b_3 \ \ \qquad \ddots \\ \vdots \qquad \ddots gdzie \su...

Cześć, mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania. Zbadać zbieżność szeregu \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{\left\lfloor \frac{n^3 + n + 1}{3n^{2} -1} \right\rfloor} \frac{\ln n}{n} Szereg nie jest zbieżny bezwzględnie, bo można porównać go z szeregiem harmonicznym. Próbowałem zastosować kryterium Diri...

W tym przypadku to kryterium nie rozstrzyga. Rozstrzyga, serio, wyczytałem to w książce Fichtenholza. Jeśli \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0 to z zbieżności \sum_{n=1}^{\infty} b_n wynika zbieżność \sum_{n=1}^{\infty} a_n . Jeśli \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty to z rozbieżności \su...

Sorry, chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin nx}\) jest ograniczony dla \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi, k \in Z}\). A szereg z pierwszym sinusem dla bardzo dużych \(\displaystyle{ n}\) zachowuje się mniej, więcej jak \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\sin n}\), który już jest ograniczony