Matematyka.pl

Sojusz kościoła z państwem nigdy nie był i nie jest sprzeczny z Polskim interesem... Ciekawa opinia, tyle że po prostu błędna (to odnośnie czasu przeszłego). Papież Pius VI pobłogosławił konfederację targowicką (czyli po prostu zdrajców i warchołów). Natomiast w encyklice Cum primum papież Grzegorz...

Co to znaczy x\pmod q , gdy x jest niecałkowite, a nawet niewymierne? Chodzi mi m.in. o linijkę (3+2\sqrt{2})^{2p}\equiv 1\pmod{q} (i wiele innych). Nie pytam w złej wierze, mogę czegoś nie pamiętać z algebry abstrakcyjnej. Być może da się jakoś obronić to podejście dzięki rozszerzeniom ciał, ale ni...

Druga sprawa to taka, że Slup nazwał opozycję w sposób oględny głupkami co i ma rację, tylko ja nie wiem czy on nad tym ubolewa, że opozycja jest słaba i głupia czy się z tego cieszy. Slup hołduje poglądom, które nazwałbym narodowo-bolszewickimi (żeby uniknąć błędnej konotacji z narodowym socjalizm...

Zauważ, że w świetle założeń liczba \(\displaystyle{ \frac{x+4y}{x-4y}}\) jest dodatnia (dodatni licznik i mianownik), a ponadto wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{(x+4y)^2}{(x-4y)^2}=3}\).

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 0=2x^2-32xy+32y^2=3(x-4y)^2-(x+4y)^2}\).

Jan Router Drugi łączył małe sieci. Na szczęście dla pokolenia mojej siostry polski papież to już tylko mem. Kibice są dżentelmenami, a dżentelmen winien walczyć i w przegranej sprawie (no może trochę przekręciłem). Fakty są takie, że Wojtyła wiedział o molestowaniu nieletnich i wyżej cenił wizerune...

Właściwie jeśli zna się funkcję Beta Eulera i tożsamość \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)} (dla takich z , żeby to miało sens), to idzie od razu. \frac{\pi}{\sin(\pi \alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(1)}=\mathrm{B}(\alpha, 1-\alpha)=\int_{0}^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{-\alpha...

Łatwo wykazać, że iloczyn pierwszych \(\displaystyle{ n}\) czynników tej postaci jest równy \(\displaystyle{ 2^{2^n}-1}\), tutaj \(\displaystyle{ n=9}\), czyli wynik to \(\displaystyle{ 2^{512}-1}\).

Co najmniej jedno z tych zadań to jakiś koszmar, ale 4. jest chyba łatwe. Oczywiście \mathrm{Re}\left(\sum_{k=0}^na_k b_k\right)=\sum_{k=0}^n\mathrm{Re} \ a_k b_k . Wykażemy teraz, że \mathrm{Re} \ ab\le |a||b| dla a,b\in \CC . Niech a=x_1+iy_1, \ b=x_2+iy_2, \ x_1, x_2, y_1, y_2\in \RR . Mamy \math...

Jeśli nie walnąłem się w rachunkach, to da się to zrobić w miarę bezboleśnie (to znaczy, w porównaniu z poprzednią nierównością, która przypomniała mi, że matematyka to sztuka niebycia mną). Zacznijmy od tego, że możemy przyjąć x,y,z\ge 0: jeśli, dla ustalenia uwagi, x<0 i y>0 i f(t)=\frac{1}{\sqrt...

To jest kolejne zadanko na Lifting the Exponent Lemma. Jeśli n jest nieparzyste, to v_2\left(5^n-3^n\right)=v_2(5-3)=1 i oczywiście wówczas postulowana nierówność zachodzi. Jeśli n jest parzyste, to v_2\left(5^n-3^n\right)=v_2(5-3)=v_2(5+3)+v_2(n)-1=v_2(n)+3 . Pozostaje łatwa obserwacja, że jeśli b ...

Przy czym u Pana janusza47 to jest reguła, a nie wypadek przy pracy, a ponadto występuje zerowa skłonność do korekty błędów i skruchy. Takie posty na nowicjuszu niezaznajomionym z tematem robią wrażenie, bo wyglądają na merytoryczne i porządne (jeszcze zwykle przytoczona literatura itd.), a wprowadz...

1) Jeśli x\le 1 lub y\le 1 , to teza jest oczywista (wtedy mamy 0\le xy\le y lub 0\le xy\le x ), bo kosinus maleje w pierwszej ćwiartce i \cos 0=1 . 2) Jeśli x>1, \ y>1 , to używamy nierówności w pierwszej ćwiartce: 1-\frac{t^2}{2}\le \cos t\le 1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24} (ich dowód to prosty rac...

Pierwszy z zaprezentowanych wyrazów LHS wydaje się nie odpowiadać tej samej idei konstrukcyjnej, co ostatni. Czy nie miało jednak być \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2}+\ldots+\frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n}<1+\frac 1 2+\ldots+\frac 1{n^2} :?: Ewentualnie (choć intuicyjnie wg mnie taka teza się sypie) \frac{...

Teza dość łatwo wynika z LTE (Lifting the Exponent Lemma). Możemy przyjąć, że p\nmid x, \ p\nmid y (bo gdyby dzieliło jedną, musiałoby dzielić obydwie, i to z takim samym wykładnikiem, a wtedy po prostu dzielimy stronami przez odpowiednią potęgę p ). Oczywiście ze wzoru na sumę n -tych potęg i zało...