Matematyka.pl

Może pokaż jak liczysz, to znajdziemy błąd. Po wklepaniu tego do Wolframa dostałem zupełnie inny wynik.

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2x-1}\), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian stopnia zerowego, tj. liczba rzeczywista \(\displaystyle{ R}\), że \(\displaystyle{ w(x)=(2x-1)p(x)+R}\), gdzie \(\displaystyle{ p(x)}\) jest pewnym wielomianem. W naszym przypadku \(\displaystyle{ R=10}\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ w\left(\frac{1}{2}\right)=10}\).

Mamy \(\displaystyle{ 2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)}\) i już nie ma dwójki przy iksie. Robi się dokładnie tak samo.

No tak, zapomniałem kompletnie o nierówności Holdera i dlatego to nie chciało wyjść! Dzięki

Załóżmy, że f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} jest funkcją klasy C^1 całkowalną w sensie Lebesgue'a na prostej. Ponadto załóżmy, że dla pewnego p>1 jest f' \in L^p(\mathbb{R}) . Próbuję udowodnić, że funkcja f jest jednostajnie ciągła. Jednak jedyne co póki co widzę, to lokalną lipszycowskość, a ...

<r>Przy wyznaczaniu całki <LATEX><s>[latex]</s>\int_{[0,\infty)} e^{-ax^2}x^2\mbox{d}x<e>[/latex]</e></LATEX> pojawił się mały problem. Próbuję wykorzystać twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki, ale mam problem ze sprawdzeniem jednego założenia. Możliwe, że umyka mi tutaj coś totalnie oczyw...

Dlaczego uważasz, że możemy po prostu opuścić moduł? Przecież wrażenie pod modułem nie musi być nieujemne. Wydaje mi się, że nie masz racji: jest \frac{x^{2}}{n}\ge 0 , \ x\in \RR, \ n\in\NN^{+} , więc e^{\frac{x^{2}}{n}}\ge 1 i e^{\frac{x^{2}}{n}}-1\ge 0 . Oczywiście, dzięki. Czasem szybciej piszę...

1. Dlaczego uważasz, że możemy po prostu opuścić moduł? Przecież wrażenie pod modułem nie musi być nieujemne. A może tak: \sup_{x\in \mathbb{R}} \left|e^{\frac{x^2}{n}}-1\right| \geq \left|e^{\frac{\sqrt{n}^2}{n}}-1\right| =e-1 . Pokazaliśmy tak, że dla każdego n znajdziemy taki argument x=\sqrt{n} ...

Jan Kraszewski pisze: ↑19 lis 2019, o 16:09

MrCommando pisze: ↑19 lis 2019, o 14:39A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą.

Z tego nie możesz skorzystać, bo nie wiesz nic o różniczkowalności funkcji \(\displaystyle{ f}\) poza zerem.

JK

To prawda, niedokładnie przeczytałem.

A może skorzystajmy z tego, że pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą. Dość prosto w sumie można to pokazać.

Wtedy \(\displaystyle{ f'(x)=-f'(-x)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), w których \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna, a w szczególności \(\displaystyle{ f'(0)=-f'(0)}\), czyli \(\displaystyle{ f'(0)=0}\).

Pokaż swoje próby.

1. W pierwszym podpunkcie możemy skorzystać z tego, że funkcje charakterystyczne są mierzalne, a kombinacje liniowe funkcji mierzalnych są mierzalne. Pozostałe dwa podpunkty - spróbuj wprost z definicji mierzalności. Jeśli chodzi o wyznaczenie najmniejszego \sigma -ciała, to popatrzyłbym jak wygląda...

Może taki kontrprzykład: funkcja \sin(x^2) jest ograniczona, ale sama x^2 nie jest. Natomiast jeżeli funkcja f jest taka, że istnieje M\in\mathbb{R} takie, że dla każdego x\in\mathbb{R} -M<\ln(f(x))<M , to e^{-M} < f(x)< e^M . Zatem f też jest ograniczona. Korzystaliśmy tutaj z faktu, że logarytm po...

a) Niech a_n=\sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n} . Zauważmy, że dla dowolnego n\in\mathbb{N} mamy: 3n \leq \left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n \leq n^2+n^2+3n^2=5n^2 , co dzięki monotoniczności pierwiastka równoważne jest nierówności \sqrt[n]{3n} \leq \sqrt[n]{\left(\frac{1}{5}\right)^n+n^2+3n...

Dziękuję