Matematyka.pl

powiedzmy, że mamy do czynienia z kratą \(m \times n\) powiększamy kratę o jeden wiersz z góry i o jeden wiersz po prawej i przedłużamy daną łamaną do łamanej zamkniętej tak jak na rysunku Screenshot 2023-09-04 135316.png ze wzoru Picka dostajemy, że ograniczony wielokąt ma pole \(W+\frac 12 B - 1 ...

łatwiej robić indukcję ze skokiem \(2\)

dla \(n\ge 2\) wśród liczb \(n+1,n+2\) jedna jest parzysta (a zatem złożona, bo większa od \(2\)), więc wśród nich jest co najwyżej jedna liczba pierwsza

to daje \(p(n+2) \le 1+p(n)\)

ręcznie sprawdzamy, że działa dla \(n=8\) i \(n=9\) i odpalamy indukcję

nazwijmy kolejne wierzchołki wielokąta od lewej do prawej przez \(A,B,C,D,E,F,G\) te punkty leżą na jakimś okręgu, którego środek oznaczę przez \(O\), a promień przez \(r\) oznaczając \(\angle AOB=2x\) mamy \(\angle BOC = \angle COD = \ldots = \angle FOG = 2x\), \(\angle AOG = 12x\), więc z twierdze...

szkoda pieniędzy na jakieś proofreadingi, zamiast tego polecam lekturę:

gdy \(a\le b\le c\) i \(a+b+c=6\), to \(a\le 2\le c\), więc \((2-a)(c-2)\ge 0 \implies ac \le 2a+2c-4=2(4-b)\)

poza tym \((b-2)^2\ge 0 \implies (4-b)b\le 4\)

po zebraniu tego do kupy: \(abc \le 2(4-b)b \le 8\)

jakie dzielniki pierwsze mają \(1\) i \(-1\)?

rzeczywiście, w czwartej linijce nierówność powinna być w drugą stronę to daje w takim razie \(a+b\ge 1\) i \(ab=\frac{(a+b)(1+a+b)}{9-(a+b)} \ge \frac{1\cdot(1+1)}{9-1}=4\), tj. \(\sqrt[3]{4abc} \ge \max(a,b,c)\), ale nie o to proszono nas w zadaniu my mamy sprawdzić, że \(2ab=\frac{2(a+b)(1-(a+b))...

bez szkody \(1=c\ge a,b>0\) (można skalować i permutować) założenie daje \(ab(9-(a+b))=(a+b)(1+a+b)\) skoro \(4ab\le(a+b)^2\) i \(a+b\le 2<9\), to \(4(a+b)(1+a+b)=4ab(9-(a+b))\le(a+b)^2(9-(a+b))\) po skróceniu czynnika \(a+b\) i przekształceniach: \((4-(a+b))(1-(a+b))\ge 0\) wiadomo jednak iż \(4>a+...

kontrprzykład: \(x=1\), \(y=i\)

Ja tam się nie zmęczyłem :). Za to jakoś nie widzę równości kątów, o których piszesz. to geometria na poziomie przedszkola, ale już spieszę z wyjaśnieniem jakich faktów użyliśmy pierwsza równość wynika z warunku na wpisywalność czworokąta w okrąg (suma przeciwległych kątów równa się kątowi półpełne...

po co się tak męczyć?

powiedzmy, że mamy trójkąt \(ABC\) z wysokościami \(BE\) i \(CF\), a prosta styczna w punkcie \(A\) do okręgu opisanego na \(ABC\) nazywa się \(\ell\)

punkty \(E,F\) leżą na okręgu o średnicy \(BC\)

teza wynika z równości kątów \(\angle EFA = \angle ACB = \angle(\ell, AB)\)

wciąż nie musi i może \(X=\{0,1\}^{\mathbb N}\) z topologią dyskretną dla każdego skończonego ciągu binarnego \(\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots \varepsilon_k\) definiujemy \(A_{\varepsilon_1\varepsilon_2\ldots\varepsilon_k} = \{(x_1,x_2,\ldots)\in X \colon x_1=\varepsilon_1, x_2=\varepsilon_2, \ldo...

nie musi i może:

\(X\) --- nieprzeliczalna przestrzeń dyskretna

\(\mathcal B = \{\{x\} \colon x\in X\} \cup \{X\}\)

\(\mathcal C = \{X\}\)

miałem nadzieję, że nikt nie będzie się dopytywał, bo mi się nie chciało tego opisywać, ale skoro obiecałem, to opiszę zasadniczo chodzi o to, że jeśli \(0\le x<y\le z\), to patrzymy na wielomian \(P(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz\) możemy popatrzeć na wielomian \(Q(t)=P(t)-\varep...

w tym pytaniu strzelałem, bo nie wiadomo o co cho

strzeliłem dobrze