Matematyka.pl

1. No tak! Czyli wybierając zbiór B_2 , bierzemy go z takiego z \sigma -ciał \mathcal{B} \upharpoonright B_1 , \mathcal{B} \upharpoonright X\setminus B_1 , które jest nieskończone. Ten zbiór dzieli nasze nieskończone \sigma -ciało na dwa kolejne, z których co najmniej jedno jest nieskończone - i to ...

1. Rzeczywiście, wydawało się, że to miało sens, ale teraz to się w ogóle zamotałem. Dobrze by było zagwarantować, że \mathcal{B} \upharpoonright X \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B_k będzie mieć więcej niż dwa elementy, bo wtedy zawsze będziemy mogli coś wybrać. Przychodzą mi do głowy tylko szczególn...

1. Na pewno zbiór B (nazwę go już w sumie B_1 ) nie będzie ani pusty, ani nie będzie stanowił całej przestrzeni. Może być dowolnym innym zbiorem. Rozważamy \sigma -ciało \mathcal{B} \upharpoonright B_1 (a w zasadzie jego sumę, czyli zbiór B_1 ). Następnie powtórzmy ten sam krok dla \sigma -ciała \ma...

Dzięki za odpowiedzi. Już późna godzina, ale spróbuję jeszcze powalczyć: 1. Widzę jak w taki sposób można wybrać dowolną skończoną rodzinę zbiorów rozłącznych (dokonujemy takich podziałów tyle razy ile chcemy, najpierw robimy tak jak zaproponowałeś, potem powtarzamy procedurę dla \mathcal{B} \upharp...

A z czego by to wynikało? To znaczy dla mnie logiczne jest, że to "działa", ale jednak z definicji miary Lebesgue'a wynika, że bierzemy infimum po zbiorze przeliczalnych sum wszystkich pokryć. Poszukałem w sieci i nawet Wikipedia (wiem, że to niekoniecznie dobry autorytet) podchodzi do teg...

1. To fakt. Czy da się jakoś to poprawić? Bo tak naprawdę te zbiory A_n mogą być w najróżniejszych relacjach i nie mam pomysłu jak to zrobić. 2. Z tym x_k to literówka oczywiście. Czy masz na myśli prostokąt typu \prod_{k=1}^n (x_k-\epsilon, x_k+\epsilon) ? Myślałem, że zgodnie z definicją miary Leb...

Ostatnio rozwiązywałem kilka zadań z teorii miary, a z racji że dopiero co zaczynam zabawę z tymi rzeczami, to nie czuję się zbytnio pewnie. Proszę o sprawdzenie, czy pierwsze dwa zadania są zrobione poprawnie (i pomoc w razie ewentualnych błędów) oraz o podpowiedź do trzeciego. 1. Czy istnieje prze...

No tak, zapisując w ten sposób tą granicę otrzymamy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje \(\displaystyle{ n_0}\) że dla \(\displaystyle{ n>n_0}\) zajdzie \(\displaystyle{ \sum_{m=n+1}^{\infty}\mu(A_m)<\epsilon}\). Czyli dokładnie to co powinno wyjść. Dziękuję

Ok, w sumie powinienem był na to wpaść i dziwię się, że nie wpadłem. Zatem U=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n+1}^{\infty}A_m . Przychodzi mi do głowy, że możemy zrobić takie oszacowanie prawdziwe dla każdego n : \mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n+1}^{\infty}A_m\right)\leq \mu\left(\bigcu...

1. Przy zagadnieniu tego ciągu liczbowego prostszy zapis, który Pan zaproponował, narzucałby się od razu i nie próbowałbym tego tak pokrętnie ująć. Tutaj chyba czegoś jeszcze nie widzę. Fakt, że zbiór A\subset \mathbb{N} jest nieskończony, możemy wyrazić następująco: dla każdego n\in A istnieje m \i...

<r>Dziękuję bardzo za odpowiedź.<br/> <br/> 1. Jeżeli weźmiemy dowolny element zbioru, o którym mamy pokazać, że jest miary zero (powiedzmy jakiś <LATEX><s>[latex]</s>x<e>[/latex]</e></LATEX>), to istnieje przeliczalna podrodzina <LATEX><s>[latex]</s>\left\{B_n\right\}_{n=1}^{\infty}<e>[/latex]</e><...

Próbuję zrobić następujące dwa zadania, ale póki co nie wychodzi. Prosiłbym też raczej o naprowadzanie na właściwy tok myślenia, niż danie gotowego rozwiązania. 1. Niech \left(X,\mathcal{M},\mu\right) będzie przestrzenią z miarą i niech A_1,A_2,\dots \in\mathcal{M} . Wykazać, że jeśli \sum_{n=1}^{\i...

Genialne! W życiu bym tego tak nie skojarzył. Próbowałem coś działać z nierównością Schwarza, ale nie wychodziło.

Od jakiegoś czasu zastanawia mnie rozwiązanie takiego problemu: Niech f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} będzie funkcją ciągłą spełniającą warunek \int_0^1 f(x)\mbox{d}x=\int_0^1 xf(x)\mbox{d}x=1 . Udowodnić, że \int_0^1 f^2(x)\mbox{d}x\geq 4 . Jednak póki co żaden sensowny pomysł nie przyszedł mi do gło...

\(\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x \to 1^+} \sqrt{\frac{1-4x}{1-x}}=\left[\sqrt{\frac{-3}{0^-}}\right]=\left[\frac{\sqrt{3}}{0^+}\right]=+\infty}\).

Jaki z tego wniosek?