Matematyka.pl

Widać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Zakładam, że są mniejsze niż 3. 1. a_1 \in (0,3) 2. Zakładam, że a_k \in (0,3) 3. a_{k+1} = \sqrt{6+a_k} < \sqrt{6+3} = 3 Zatem z indukcji wynika, że ciąg jest ograniczony. A więc jest monotoniczny (warunek z poprzedniego postu). Czy do tej pory jes...

Witam. Mam policzyć granicę takiego ciągu: a_1 = \sqrt{6} oraz a_{n+1} = \sqrt{6+a_n} . Pomyślałem, żeby zrobić to z twierdzenia o ciągu monotonicznym ograniczonym - a zatem w pierwszej kolejności chciałbym pokazać, że ciąg jest monotoniczny. Aby tak było, musi spełnić następujący warunek: \sqrt{6+a...

Witam!

Mam udowodnić, stosując indukcję, że średnia arytmetyczna danego ciągu liczb dodatnich jest zawsze większa lub równa średniej geometrycznej tego samego ciągu - nie mam jednak pomysłu, jak abrać się za to zadanie - prosiłbym o jakąś podpowiedź.

Witam! Zastanawiam się, w jaki sposób można by policzyć granicę następującego ciągu: a_n = \frac{\sin(n)}{n} Próbowałem zapisać ten ciąg jako iloczyn ciągu dążącego do zera oraz ciągu wartości funkcji sinus, jednak problem jest taki, że sinus nie ma granicy - zatem nie mogę zastosować twierdzenia o ...

Witam! Czy można stosować twierdzenie o trzech ciągach w przypadkach, gdy dla wszystkich naturalnych argumentów, wartości dwóch ciągów nigdy się nie pokrywają? Na przykład, weźmy takie trzy ciągi: a_n = \frac{n+1}{n^2} b_n = \frac{2n+4 }{n^2 } c_n = \frac{200n + 5}{n^2} Zatem mamy a_n < b_n < c_n Cz...

Witam. Niedawno zapoznałem się z w/w twierdzeniem. Chcąc je lepiej zrozumieć, pomyślałem o kilku przykładach. Jednym z nich jest ciąg a_n = \sin (n) . Ciąg ten jest ograniczony z góry przez 1 , a z dołu przez -1 . Mam jednak taki problem, że nie umiem znaleźć żadnego zbieżnego podciągu - okres funkc...

W domyśle chodzi o drugą możliwość.

Dla jakich liczb naturalnych n zdanie p \rightarrow p \dots \rightarrow p ( n implikacji) jest tautologią? (1) Sprawdzam dla p = 1 : Implikacja dwóch prawdziwych zdań jest zawsze prawdziwa - zatem warunek spełniony (2) Dla p = 0 : Dla n = 1 : prawda Dla n = 2 : fałsz Dla n = 3 : prawda Dla n = 4 : f...

Mam sprawdzić, czy każde dwa ciała dwuelementowe są izomorficzne, zatem definiuję je: A = (P, +_a, *_a, 0^a, 1^a) oraz B = (R, +_b, *_b, 0^b, 1^b) Wybieram funkcję f: P \rightarrow R , która elementowi neutralnemu dodawania w ciele A przypisuje element neutralny dodawania w ciele Q , a elementowi ne...

Witam! Zastanawia mnie sformułowanie definicji zawierania się dwóch zbiorów. A \subseteq B \iff (x\in A \Rightarrow x\in B) Weźmy przykład dwóch rozłącznych zbiorów A i B oraz obiekt x, który należy tylko do zbioru B. Wówczas implikacja x\in A \Rightarrow x \in B jest prawdziwa, jednak oczywistym je...

Faktycznie, w moim poście byl błąd.
Poprawiłem.

Witam! Prosiłbym o komentarz odnośnie mojej próby rozwiązania tego zadania: Udowodnić, że A \cap B jest największym zbiorem zawierającym się w A i B . Rozważmy pewien zbiór Z , w którym zawierają się zbiory A i B . 1. Biorę dowolny obiekt x taki, że x \in A \cap B 2. A \cap B będzie podzbiorem Z , j...

Dzięki, teraz już widzę, ten głupi błąd. Wydaje mi się jednak, że taki sposób postępowania - mianowicie, przeksztalcanie wyrażenia logicznego, nie doprowadzi do rozwiązania zadania, jeśli zdanie w istocie nie jest prawdziwe. Pomyślałem, że dobrze by było sobie to wstępnie rozrysować przed przystąpie...

Nie, poprawnie przepisałem zdanie.
Znaczy to, że pomyliłem się gdzieś na etapie przekształceń,
Nie widzę jednak, gdzie.

Witam! Mam sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe jest poniższe zdanie: (A \subseteq B) \lor (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C . Jeżeli lewa część implikacji jest fałszywa, to wtedy zdanie jest prawdziwe. Zatem rozważam tylko przypadek, w którym zakładam, że lewa strona jest...