Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ sin^{2} \alpha = sin^{2} \beta + sin^{2}(\alpha + \beta)}\) to trójkąt jest prostokątny.

W trapezie o polu \(\displaystyle{ 100cm ^{2}}\) połączono środki kolejnych boków, Oblicz pole powstałego czworokąta.

Pole prostokąta jest równe \(\displaystyle{ 9 cm^{2}}\), a średnica okręgu opisanego na tym prostokącie ma długość 6cm. Oblicz miarę kąta ostrego między przekątnymi prostokąta.

Oblicz pole prostokąta, którego przekątne długości 10cm przecinają się pod katem 45 stopni.

W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 15cm, a wysokość 9cm. Odcinek łączący środki przekątnych trapezu ma 4cm długości. Oblicz pole tego trapezu.

W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a jego przekątna dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Wiedząc, że pole trapezu jest równe \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3} cm ^{2}}\), oblicz długość boków tego trapezu.

Przekątna trapezu równoramiennego ma długość 10cm i tworzy z podstawą kąt o mierze 40 [stopni]. Oblicz pole tego trapezu.

W trapezie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego podzieliła dłuższą podstawę na odcinki, z których dłuższy ma 8cm długości, Wiedząc, że wysokość ma długość 7cm oblicz polew tego trapezu.

kaszubki pisze:...
Promień okręgu wpisanego to \(\displaystyle{ \frac{3x+4x-5x}{2}=x=7}\).
...

Skąd to się wzięło?

W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 7cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, którego pole równe jest \(\displaystyle{ 210cm^2}\), a jego obwód równy jest 70cm.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na tym trójkącie.

Ciąg geometryczny składa się z pięciu wyrazów, których suma wynosi 124. Iloraz sumy wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest 4,25. Wyznacz ten ciąg.

Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (\(\displaystyle{ _{n}}\) ), wiedząc, że:
a) \(\displaystyle{ a_{5} - a_{3} = 1680}\) i \(\displaystyle{ a_{3} + a_{4} = 560}\)
b) \(\displaystyle{ a_{1}+a_{5} = 1285}\) i \(\displaystyle{ a_{2} * a_{4} = 6400}\)

Wyznacz ciąg arytmetyczny, którego suma n pierwszych pierwiastków wyrazów jest równa \(\displaystyle{ 5n^2}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\)