Matematyka.pl

1. Wyprowadzić wzór rekurencyjny na: I^\pm_n = \int \frac{\dd x}{x \cdot (x \pm 1) \cdot \ldots \cdot (x \pm n)} https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=76134#p287664 5. Obliczyć: \int_0^1 \frac{1}{1 + x} \cdot \left( \sum_{k = 1}^{+\infty} x^{2^k - 1} \right) \; \dd x Całka sprowadza się do stałej E...

dec1, to jest właściwie to samo co podałem, z użyciem innej funkcji:
\(\displaystyle{ \psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z)\,,}\)
dla m=1 ().

dec1 , odnośnie "zerowego" przykładu z tangensem - masz jakieś przesłanki, że faktycznie da się tę całkę jakoś ładnie wyrazić? Być może jest jakiś kontekst dla tej całki? 7. Dość brzydki wynik wychodzi \int_0^{+\infty} \frac{x e^{-x \sqrt{5}}}{\cosh x} \, \dd x = -2 \partial_\alpha \, \in...

$\begin{align*}\int_{\frac{1}{a}}^1 \left\{ \frac{1}{x} \right\} \, \dd x &= \left( \int_{\frac{1}{a}}^{\frac{1}{[a]}} + \int_{\frac{1}{[a]}}^1 \right) \left\{ \frac{1}{x} \right\} \, \dd x = \int_{\frac{1}{a}}^{\frac{1}{[a]}} \left( \frac{1}{x} - [a] \right) \, \dd x + \sum_{k=1}^{[a] - 1} \in...

Dwa razy przez części: \int \textrm{erf}^2 (x) \; \dd x = x\, \textrm{erf}^2 (x) - \frac{4}{\sqrt{\pi}} \int x e^{-x^2} \, \textrm{erf}(x) \; \dd x = x\, \textrm{erf}^2 (x) - \frac{4}{\sqrt{\pi}} \left( - \frac{1}{2} e^{-x^2} \, \textrm{erf} (x) + \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int e^{-2x^2} \; \dd x \right...

Premislav, nie mam rozwiązań . Pomyliłeś się podstawiając do końcowego wzoru na \(\displaystyle{ a}\).

gosia111 pisze:Wybrać? A dlaczego nie podaje się obu rozwiązań?

A po co? Potrzebujesz tylko jednej całki by ruszyć dalej.
Całki szczególne i tak ostatecznie są szczególnymi przypadkami ostatecznego rozwiązania.

gosia111 pisze:Które wzory?

Wynik z książki i mój.

dec1, kiedyś (tak z 7-8 lat temu) sobie zapisywałem ciekawe przykłady znalezione na różnych forach. Ciężko dokładnie mi wskazać źródła, bo tego akurat nie notowałem , choć głównie to z artofproblemsolving.com

mariuszm pisze:2. Całkowanie przez części , rozkład czynnika wymiernego nad zespolonymi ...
4. \(\displaystyle{ \sin{ \alpha x}=\frac{e^{i \alpha x}-e^{-i \alpha x}}{2i}}\)

Jako, że to nie jest temat z zadaniami domowymi, to przydałoby się podać więcej konkretów.

Kilka ode mnie: 1. Wyprowadzić wzór rekurencyjny na: I^\pm_n = \int \frac{\dd x}{x \cdot (x \pm 1) \cdot \ldots \cdot (x \pm n)} 2. Obliczyć: \int_0^1 \frac{\arctan x}{x} \; \dd x 3. Znaleźć minimum: \min_{a} \left( \int_0^\pi \left[a x(\pi^2 - x^2) - \sin x \right]^2 \right) 4. Obliczyć: \int_0^{+\...

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{w^{2}+3}e^{-itw}\mbox{d}w = 2 \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{\cos (tw)}{w^2 + 3} - i \frac{\sin (tw)}{w^2 + 3} \right) \, \dd w Pierwsza całka już była, a druga się wyzeruje. I = \int_0^{+\infty} \frac{x \, \dd x}{e^{2\pi x} - 1} Rozwijając w szereg geometry...

Premislav, na takie standardowe całki to sposobów jest bez liku: ... x-frac-pi2

Premislav, wystarczy zróżniczkować: A ta całka jest dość standardowa - można obliczyć bez residuów korzystając z transformaty Fouriera.

Jaki jest sens takiej całki nieelementarnej?
... %7D+dx+%7D

Być może coś bardziej ambitnego: