Matematyka.pl

1. Zauważmy, że Twój ciąg zbiega punktowo do 0, a więc ciąg zerowy jest jedynym kandydatem na słabą granicą. Wykażemy, że ciąg ten zbiega słabo do 0. Dla dowolnego f\in \ell_1 \cong c^* , z uwagi na to, że rozważane ciągi zbiegają do 0, mamy \langle f, x_k\rangle =\sum_{n=1}^\infty f_n x_k(n) = f_{k...

1. \(\displaystyle{ \varnothing \cap B = \varnothing}\), \(\displaystyle{ B\cap B=B}\),
2. \(\displaystyle{ (\bigcup_{n=1}^\infty A_n ) \cap B= \bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cap B)}\),
3. \(\displaystyle{ B \setminus (A\cap B) = (B\setminus A) \cap B}\).

Norma tego funkcjonału to

\(\displaystyle{ \sup_{n\in \mathbb N} |\frac{1}{n^2-5n+1000}|.}\)

Zauważmy, że ciąg \(\displaystyle{ n^2-5n+1000}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ n=2,3}\) która jest wtedy równa 994. Stąd norma odwzorowania to \(\displaystyle{ 1/994}\).

Antonina421 pisze:Czy ktoś jeszcze w dzisiejszych czasach nie ma offica lub iwork w domu? Serio?

Ja nie mam.

wydaje się opisanie jego elementów minimalnych Minimalne topologie metryzowalne są zwarte. Zobacz Theorem 2 w: C. T. Scarborough, R. M. Stephenson, Jr. , Colloquium Mathematicae 19 .2 (1968), 215-219. Zobacz także https://www.ams.org/journals/tran/1969-138-00/S0002-9947-1969-0238261-1/S0002-9947-19...

arek1357 pisze:Czyli jak powinna wyglądać topologia najuboższa ale jeszcze metryzowalna?

Czy w ogóle takowa istnieje?

Powyższy przykład dotyczący przecięcia dwóch zwartych topologii pokazuje, że nie...

arek1357 pisze:Chodzi mi o to , czy topologie:

\(\displaystyle{ \tau, \sigma}\) są topologiami indukowanymi z Topologii Euklidesowej.

Tak, istotnie.

Czy zakładasz, że rozważane miary mają skończone wahanie, tj. czy z założenia \(\displaystyle{ |\lambda|(X)<\infty}\)?

Czy jesteś pewien, że \(\displaystyle{ X}\) nie jest dodatkowo lokalnie zwarta? W tym wypadku teza będzie wynikała z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów na przestrzeni Banacha \(\displaystyle{ C_0(X)}\).

Czy m(X) jest metryzowalna? Na ogół nie jest. Niech X będzie zbiorem przeliczalnie nieskończonym. Wówczas do powyższej rodziny należą topologie \tau, \sigma , które zadają homeomorfizmy (X,\tau) \cong \{0\}\cup \{\tfrac{1}{n}\colon n =1,2,\ldots\} oraz (X,\sigma) \cong \{0,1\}\cup \{\tfrac{1}{n}, 1...

Co to znaczy, że rodzina jest komplementarna?

Pytanie jest o funkcje które są mierzalne na zbiorze pełnej miary. Weźmy zatem f,g\in Z oraz odpowiadające zbiory E_f, E_g miary zero oraz zbiory D_f, D_g pełnej miary. Bez straty ogólności możemy zawęzić f,g do D=D_f\cap D_g . Zbiór E=E_f\cup E_g też jest miary zero oraz, w szczególności, funkcje f...

Rozważmy algebrę Banacha \ell_1(\mathbb Z) obustronnie nieskończonych szeregów bezwzględnie zbieżnych ze splotem (obustronnym iloczynem Cauchy'ego) (x_n)_{n\in \mathbb Z}\ast (y_n)_{n\in \mathbb Z} = \sum_{n\in \mathbb{Z}} (\sum_{ i+j = n} x_i y_j)\cdot e_n, gdzie e_n to ciąg, który na n -tym miejsc...

2 a), b) funkcje te nie są dodatnio jednorodne jako funkcje ograniczone, więc nie są normami. 3 a), b) tutaj także brak dodatniej jednorodności: rozważ wektor x=(1,1,1) oraz r=2 . Wówczas \|rx\|\neq r\|x\| . 4 a) weźmy niezerowy wektor x . Gdyby \|\cdot\|_3 była normą to mielibyśmy 2 \tfrac{\|x\|_1}...

Premislav pisze:To ja chyba nie rozumiem, co to jest „podprzestrzeń prostopadła do \(\displaystyle{ W}\)"

Po co ten cięty ton? Jasne jest, że nie zauważyłem słowa prostopadła, skoro sam napisałem, że ta popdrzestrzeń jest gęsta. Z gęstości już wynika, że \(\displaystyle{ W^\perp = \{0\}}\).

Tak, na przykład ciąg \(\displaystyle{ (1,0,0,0, \ldots)}\) albo \(\displaystyle{ (0,1,0,0,\ldots)}\), etc. Ta podprzestrzeń jest gęsta w \(\displaystyle{ \ell_2}\).