Matematyka.pl

Dla n\leq 10000 trywialne. Dla n>10000 istnieje takie k , że 10^k<n^4<16^k , czyli 2^k>n . Rozważmy zbiór zawierający liczby składające się z samych zer i jedynek i spełniających 10^k\leq n < 10^{k+1} dla takiego k . Moc takiego zbioru wynosi 2^k , czyli jest większa od n , zatem zbiór ten zawiera ...

Są już zadania:

Ma ktoś zadanka?

Nie może, bo ta granica równa się \(\displaystyle{ 1}\)

IMC 1994 D2 P6

literówka, fixed

Z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \sqrt{2x+2y}\geq \sqrt x + \sqrt y}\), zatem \(\displaystyle{ \sqrt z \geq \sum_{k=1}^n \sqrt k}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) to ta pozostała liczba. Lecz \(\displaystyle{ \sqrt z\geq \sum_{k=1}^n \sqrt k \geq \int_0^n \sqrt x\,\mathrm dx =\frac 23n^{3/2}}\), a stąd \(\displaystyle{ z\geq \frac 49n^3}\), cnd.

Obustronne pomnożenie przez \(\displaystyle{ 4}\) daje \(\displaystyle{ 8n^2=4m^2+4m=(2m+1)^2-1}\), a więc jest to równanie Pella \(\displaystyle{ (2m+1)^2-8n^2=1}\), które ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Na przykład: Skalowanie: cf\in \mathrm O (f) dla każdego stałego c . Dodawanie: Jeśli f\in \mathrm O (h) i g\in\mathrm O (i) , to f+g\in \mathrm O (h+i) . Z tego wynika, że jeśli h=i to f+g \in \mathrm O (h) . Mnożenie: Jeśli f\in \mathrm O (h) i g\in\mathrm O (i) , to f\cdot g \in\mathrm O (h \cdot...

No przecież \(\displaystyle{ \frac{A}{\log x} \mathop\mathrm O \left( \frac{1}{\log x}\right) = \mathop\mathrm O \left( \frac{1}{\log^2 x}\right)}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{Zn}^0 \rightarrow \mathrm{Zn}^{\mathrm{II}} + 2\,\mathrm e \\
\mathrm H^\mathrm I + \,\mathrm e \rightarrow \mathrm H^0}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{Zn} + 2\,\mathrm{NaOH} + 2\,\mathrm{H_2O} \rightarrow \mathrm{Na _{2}[Zn(OH) _{4}]} + \mathrm H _{2}}\)

Dla każdej liczby całkowitej n\geq 0 jest \int_0^1 \frac{\log\cos(\frac{\pi x}{2})}{x(x+1)}\,\mathrm dx=-n\log^2 2+\int_0^{1/2^n}\frac{\log\cos(\frac{\pi x}{2})}{x}\,\mathrm dx-\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}\frac{\log\sin(\frac{\pi x}{2})}{x}\,\mathrm dx W sumie nie powinienem tego dawać, bo nie mam żadn...

414093.htm

419184.htm

\pi\ln\ln 2 . Pomocne przekształcenie: \int_0^{\pi / 2} \ln (x^2+\ln ^2 \cos x) \,\dd x=2\,\Re\int_0^{\pi / 2}\ln\left( \ln\left( e^{2ix}+1\right) - \ln 2\right) \,\dd x Wzór Taylora. Podstawić do wzoru x=e^{2ix} . Przy całkowaniu wzoru Taylora nie trzeba rozważać wyrazów innych niż f(0) . (dlaczeg...