Matematyka.pl

Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \ln x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{3x+5} \le \sqrt{3x+x} = \sqrt{4x}}\), więc

\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{\sqrt{3x+5}} \ge \frac{1}{2\sqrt{x}}}\).

Z kryterium porównawczego, całka jest rozbieżna.

Twój sposób jest poprawny o ile wyraźnie napiszesz, że wszystkie przejścia są równoważne, tak żeby nie wyglądało, że zakładasz tezę i dochodzisz do prawdy. Sposób nauczyciela nie wymaga dodatkowego komentarza, być może właśnie dlatego jest to jego standardowe zalecenie, bo z prawidłowym komentowanie...

Gdy studiowałem jeszcze na Uniwersytecie Wrocławskim (czyli całkiem niedawno), co roku w grudniu odbywały się tam warsztaty matematyczne Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci. Inne polskie uczelnie też chyba prowadzą te warsztaty. Uczniowie biorą udział w ciekawych wykładach wygłoszonych przez prawdziw...

Bardzo fajne zadanie. Poniżej rozwiązanie nieco może górnolotnym językiem, ale myślę, że trafnie identyfikującym istotę problemu. Niech f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} będzie dowolną funkcją. Dla t \in \mathbb{R} określamy \Delta_t f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} wzorem (\Delta_t f)(x) = f(x) - f(x-t) ....

Da się: zbiór \mathbb{Q} \cap [0, 1] \setminus \left\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \setminus \{ k^2 : k \in \mathbb{N} \} \right\} jest przeliczalny, więc jego elementy można ustawić w ciąg \left< p_m : m \in \mathbb{N} \right> . Wtedy ciąg q_n = \begin{cases} p_m & \text{gdy } n = m^2, \\ \f...

Najpierw wyznaczmy dystrybuantę F_{X_k} zmiennej X_k . Oczywiście F_{X_k}(x) = 0 dla x < 0 i F_{X_k}(x) = 1 dla x > 1 , dla x \in [0, 1] mamy zaś F_{X_k}(x) = \mathbb{P}(X_k \le x) = \int \limits_0^x \theta t^{\theta-1} \, \dd t = x^{\theta} . Następnie znajdujemy dystrybuantę, a potem gęstość zmien...

Załóżmy nie wprost, że S \cap A nie jest spójny. Istnieją wtedy otwarte U, V \subseteq X , takie że (i) S \cap A \subseteq U \cup V , (ii) S \cap A \cap U \cap V = \varnothing , (iii) S \cap A \cap U \neq \varnothing i S \cap A \cap V \neq \varnothing . Z drugiego warunku mamy bez straty ogólności x...

Poniżej przyjmuję, że \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \} . Oznaczmy przez \mathcal{F} rodzinę wszystkich funkcji gładkich f : [0, 1] \to \mathbb{R} , takich że f^{(n)}(1) = f^{(n+1)}(0) dla n \in \mathbb{N} . Dla f \in \mathcal{F} definiujemy funkcję \hat{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} w sposób nast...

Kontrprzykład:

\(\displaystyle{ X = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1 \} \cup ( \{ 0 \} \times [1, 2] ) \\
A = \{ (x, y) \in X : x \ge 0 \} \\
B = \{ (x, y) \in X : x < 0 \} \cup \{ (0, 1) \} \\
S = B \cup \{ (0, -1) \}}\)

Może \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) powinny być domknięte?

Jeśli "Wokulski po czteroletniej katordze został wolny jak ptaszek", to najpierw przeżył katorgę, a później stał się wolny.

Jeśli Diofantos "po siódmej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego", to najpierw przeżył jedną siódmą swojego życia, a później się ożenił.

gdyby dało się łatwo pokazać, że w każdym zbiorze nieprzeliczalnym istnieje należący do niego punkt skupienia, to pokazalibyśmy wprost, że `|f(x_0)|\le N`. Nadal nie widzę związku, a dowód jest taki: niech A \subseteq \mathbb{R} będzie nieprzeliczalny i załóżmy nie wprost, że każdy a \in A ma prawo...

Może przeczytaj uważniej?

Winszuję optymizmu - jednak to nie dowcip, lecz luka w Twoim dowodzie, na co nieśmiało próbowałem zwrócić Ci uwagę. Twoja pierwsza obserwacja prawidłowo identyfikuje problem, druga jest cokolwiek od rzeczy, natomiast luki nadal nie usunąłeś. :>

a4karo pisze: ↑20 lut 2024, o 20:23Ze zbioru `A_N` możemy łatwo wybrać podciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) zbieżny do pewnej liczby `x_0`.

Na przykład ciąg stały?

Jeśli długość życia Diofantosa w latach oznaczymy przez \(\displaystyle{ x}\), to spełnione jest równanie

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} x + \frac{1}{12} x + \frac{1}{7} x + 5 + \frac{1}{2} x + 4 = x}\)

i stąd \(\displaystyle{ x = 84}\).