Matematyka.pl

Zgadza się :) Jednym z zadań z listy z ćwiczeń, którego nie zrobiliśmy, było wykazanie tego twierdzenia dla n=1 . Szukałem dowodu, ale głównie znalazłem takie, które korzystały z mocno nieelementarnych rzeczy, o których jeszcze nie słyszałem. Zastanawiam się jak zrobić to najprościej. Znalazłem tera...

Próbuję wykazać, że dla funkcji gładkiej \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) miara (Lebesgue'a) obrazu zbioru \(\displaystyle{ V=\left\{x \in \mathbb{R}: f'(x)=0\right\}}\) jest równa zero, ale kiepsko to wychodzi. Jak najlepiej do tego podejść? Jakaś wskazówka?

Świetne! Właśnie czegoś takiego szukałem i teraz mogę spać spokojnie dziękuję bardzo za pomoc!

Poszukuję dowodu faktu, że wymiar Hausdorffa zbioru liczb Liouville'a jest równy zero. Niestety w sieci ciężko cokolwiek znaleźć. Znalazłem jednak to https://math.stackexchange.com/questions/249673/proof-that-the-hausdorff-dimension-of-liouville-numbers-is-zero Jednak zbytnio nie rozumiem co się tam...

Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu wnętrzu. A co można w tym kontekście powiedzieć o zbiorze liczb rzeczywistych?

Przecież nieprawdą jest, że wnętrze zbioru liczb rzeczywistych jest zbiorem pustym.

Możesz też rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=2}^{100} {100 \choose k} x^k }\), \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Można pokombinować ze wzorem dwumianowym i zapisać wzór tej funkcji o wiele prościej. Jak już to zrobisz to zastanów się jak wygląda pochodna tej funkcji i jak można to powiązać z zadaniem.

Według Twojej definicji miara wewnętrzna zbioru [0, 1] \setminus \mathbb{Q} wyniosłaby zero, a ten zbiór jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i jest miary jeden. Rzeczywiście, przeczuwałem, że właśnie taki haczyk może być i że taka definicja może być niepoprawna, ale nie mogłem znaleźć przykładu zbio...

Może trochę głupie mam przemyślenia, ale uznałem, że zapytam, bo od pewnego czasu nie daje mi to spokoju, a zależy mi żeby ten temat dobrze zrozumieć. Ostatnio zastanawiam się nad pojęciem wewnętrznej miary Lebesgue'a. Zauważyłem, że praktycznie we wszystkich książkach i skryptach jakie widziałem (i...

No tak, w końcu \(\displaystyle{ F}\) w żadnym razie nie musi być domknięty. Więc ostatecznie \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} F_n\cap P_k}\).

Mamy \mathbb{R}^n=\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k , gdzie P_k=\prod_{m=1}^n [-k,k] . Czyli \mathbb{R}^n jest przeliczalną sumą takiego wstępującego ciągu kostek. Te kostki oczywiście są zwarte. To może jakoś tak? F=\bigcup_{k=1}^{\infty} F \cap P_k . Tak oto zapisaliśmy F jako przeliczalną sumę zbiorów z...

No dobrze, spróbujmy zatem. Implikacja w jedną stronę wygląda dość prosto: Załóżmy, że dla pewnego zbioru A\subset \mathbb{R}^n zachodzi A=B\cup Z , gdzie B jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych, a Z zbiorem miary Lebesgue'a zero. Zbiór zwarty jest w szczególności domknięty, a zatem mierzalny. Sum...

Dzięki za odpowiedź. Ze zwartością co prawda nie miałem bardzo do czynienia, bo dopiero zaczynam topologię (co najwyżej miałem do czynienia z banalnymi przypadkami w przestrzeni \mathbb{R}^n , gdzie zbiór zwarty jest domknięty i ograniczony). Ale poszukałem trochę w internecie i znalazłem, że obraz ...

Proszę o sprawdzenie dwóch zadań oraz wskazówkę do trzeciego: 1. Niech f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} spełnia warunek Lipschitza ze stałą L>0 . Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero. Niech A\subset \mathbb{R} będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \varepsilon>0 . I...

Super, dziękuję zatem za pomoc. Coraz bardziej zaczynam to "czuć" i zadania lepiej wychodzą