Matematyka.pl

Niezła magia
W tym przykładzie pechowo się złożyło, że ograniczenie jest równe liczbie niewiadomych.
W nawiasie mamy \(\displaystyle{ x+...+x^4}\) bo są 4 niewiadome?
Nawias jest podnoszony do potęgi 4, bo mamy ograniczenie \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\)?

Tyle wiem, "umiem" to rozłożyć na moduły względnie pierwsze (moduły: 3, 5, 4, 3, 3) i rozwiązać, ale wychodzi mi \(\displaystyle{ x = 158 + k \cdot 180}\)

Układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x \equiv 1 (mod 15)
\\
x \equiv 22 (mod 36)
\end{cases}}\)

Wynik: \(\displaystyle{ x = 166 + k \cdot 180}\)

Mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku skąd to się wzięło?

Ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10}\) (dla liczb naturalnych).
Co w przypadku, gdy na każdy wyraz sumy nałożymy ograniczenie (np. \(\displaystyle{ x_{1..4} <= 4}\))?
Wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru włączeń i wyłączeń, ale zależy mi po prostu na efektywnej metodzie obliczenia.

A poza tym to co wyżej napisałem jest ok?

Czy moje łopatologiczne wnioski są dobre? Jeżeli mamy kongruencję \mod 123 , a po lewej np. 125x , to po prostu możemy zamienić to 125x na resztę z dzielenia czyli 2x ? Tak samo można z prawą stroną? I dalej trzeba z tego zrobić 1x : do lewej strony dodajemy jakąś wielokrotność wartości \mod (tu 123...

Uczę się rozwiązywać kongruencje i nie rozumiem jak uzyskuje się 1x po lewej stronie. Przykład 1.1 4x \equiv 2 \pmod{3} \Leftrightarrow x \equiv 2 \pmod{3} Przykład 1.2 2x \equiv 3 \pmod{5} \Leftrightarrow x \equiv 4 \pmod{5} Przykład 2 x + 8x = 9x \equiv 6 \equiv 2 \pmod{4} \Leftrightarrow x \equiv...

\(\displaystyle{ t \in \left( - \infty ; -2\right) \cup \left( - \frac{1}{2}; \infty \right)}\)
I teraz co?

Ok, zrozumiałem
Rozwiązać ten drugi nie problem:
\(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x = - \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
Nie wiem jak to się ma do rozwiązania całego zadania.

Po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej za \(\displaystyle{ \sin x}\)
\(\displaystyle{ 2t^2+5t+2>0}\)
Pierwiastki: \(\displaystyle{ \sin t = -2 \vee \sin t = -\frac{1}{2}}\) więc \(\displaystyle{ -2}\) nie należy.
Jak drugi?

Zadanie:
\(\displaystyle{ 4\sin^2x + 5\sin x > -2 \cos^2x}\)
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ 2\sin^2 x + 5 \sin x +2 > 0}\)

Pierwiastki które z tego wychodzą: \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\). Ten pierwszy nie należy do dziedziny, jak dokończyć zadanie?

Ok, w pierwszym wyszło mi \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{5} }}\)

W drugim coś tam porobiłem, mam \(\displaystyle{ \frac{3}{\log _2 3}}\) i nie wiem co dalej, o ile to jest dobrze.

Złośliwe zadanka, nie mam pomysłu jak to rozwiązać.
1.
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{\log _4 5}}\)

2.
\(\displaystyle{ \log _3 \left( \frac{1}{8} \right) \cdot \log _4 \left( \frac{1}{81} \right)}\)

Muszę rozłożyć macierz na iloczyn 3 macierzy LPU, gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną z 1 na przekątnej P to macierz permutacji U to macierz górnotrójkątna Nie wiem jak to zrobić. Np mam taką macierz: \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 &...

Zauważyłem dwa różne wzory na to zadanie i mają różne działanie.
\(\displaystyle{ a^{n-k} b^{k}}\)
lub
\(\displaystyle{ a^{k} b^{n-k}}\)

Kiedy stosować który wzór?