Matematyka.pl

Zadanie 1 - brak Zadanie 2. Oznaczmy przez x wagę stopu pierwszego, a przez y wagę stopu drugiego (tzn ilość, jaką trzeba wziąć do końcowego stopu; interesuje nas oczywiście stosunek x do y) Z treści zadania otrzymujemy, że w pierwszym stopie jest \frac{1}{3}x miedzi i \frac{2}{3}x cynku. W drugim s...

Zad.1 Niech xy=z . Maksimum f(z)=z-z^{2} wynosi \frac{1}{4} . Wobec tego y^{6}+y^{3}+2x^{2}= \sqrt{xy-(xy)^{2}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow -y^{6}-y^{3}-2x^{2} \ge - \frac{1}{2} . Dodaję otrzymaną nierówność do nierówności z zadania: 4xy^{3}+ \frac{1}{2}-y^{6}-2x^{2} \ge -\frac{1}{2}+2x^{2}+ \sqrt{1...

Zadanie 1. Udowodnię, że w przedziale od 1 do 2009 nie istnieje 15 liczb całkowitych względnie pierwszych, nie będących liczbami pierwszymi. Aby liczba nie była pierwsza musi być iloczynem liczb pierwszych, najlepiej dwóch (wtedy jest możliwie najmniejsza), albo kwadratem liczby pierwszej. Pokaże że...

Zadanie 1. Odejmując stronami równania otrzymujemy: ( y^{3} -2x)^{2} \le \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} - \sqrt{1+(2x-y)^{2}} + \frac{1}{2} zauważmy, że xy-x^{2}y^{2} \le \frac{1}{4} zetem \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} \le \frac{1}{2} oraz \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1 stąd otrzymujemy, że 0 \le ( y^{3} -2x)^{2} \le \sq...

Zadanie 1) Niech x, y\in R będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Zauważmy, że \sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(xy-\frac{1}{2})^2}\leq\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} , więc z warunków zadania dostajemy 2x^2+1\geq 2x^2+\sqrt{xy-x^2y^2}+\frac{1}{2}=4x^2+y^6+y^3+\frac{1}{2}= =(2x-y^3)^2+4xy^3+y...

zadanie 1 Najpierw zajmiemy się dziedziną: D=\{ (x,y) \in R^{2}: xy-x^{2}y^{2} \ge 0 \wedge 1+(2x-y)^{2} \ge 0} \} . Druga nierówność jest zawsze spełniona zajmiemy się pierwszą. Przekształcamy ją i mamy xy(1-xy) \ge 0 , a dalej rozważamy dwa przypadki (1) xy \le 0 \wedge 1-xy \le 0 (2) xy \ge 0 \we...

Uwaga: Po naciśnięciu w link pojawi się ilustracja do zadania (przedstawia ona ważniejsze rzeczy [zad. 2 oraz 5]. Zadanie 1. Danych jest 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009, przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, ...

Zadanie 1. Z: a_{1}, a_{2},...,a _{15} \in Z . 1 <a_{1} < a_{2}<...<a _{15} <2009 . Liczby a_{1}, a_{2},...,a _{15} są parami względnie pierwsze. T: Co najmniej jedna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} jest pierwsza. D: Udowodnijmy to nie wprost (załóżmy, że żadna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} nie ...

Jako link:

zad. 2 1 stop zawiera: x miedzi 2x cynku 2 stop zawiera: 3y miedzi 5y cynku Stop 3 otrzymujemy z połączenia p% stopu 1 i (100-p)% stopu 2 i zawiera on z substancji. Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi ze stopu 1. = \frac{1}{3} p \% z . Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi z...

1. Niech 0 \le a \le 1 . Znajdź wszystkie funkcje ciągłe f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+ spełniające trzy następujące warunki: \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2 Rozwiązanie: Pokażemy, że nie istnieje funkcja spełniająca za...

Zad. 2 x:y stosunek w jakim należy wziąć oba stopy 1*x+3*y=5 2*x+5*y=9 x=5-3y 10-6y+5y=9 y=1 x=5-3=2 odp. Stosunek w jakim należy wziąć obydwa stopy to 2:1. Zad.3 Z:u _{n+1}=2u _{n} +7 dla n ge 1 T: u _{n} <9001 u_{1}=1 u _{2} =9 u _{3} =25 u _{4}=57 u _{5} =121 u _{6} =249 u_{7} =505 u_{8} =1017 u_...

2. x_{1} - ilość pierwszego stopu x_{2} - ilość drugiego stopu \frac{x_{1}}{x_{2}}=? Miedź stanowi \frac{1}{3} pierwszego stopu, \frac{3}{8} drugiego stopu i ma stanowić \frac{5}{14} stopu otrzymanego z połączenia tych dwóch stopów. Można więc ułożyć równanie: \frac{1}{3}x_{1}+ \frac{3}{8}x_{2}= \fr...

1. Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem: a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m} k,n,m=1,2,... gdzie p _{i} to liczba pierwsza. Składniki ciągu (a _{k}) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby. Może...

1. Zanim przejdę do rozwiązania zadania, wykażę lemat: Jeżeli dla dowolnych funkcji zmiennych rzeczywistych f(x,y), g(x,y) zachodzą wszystkie z poniższych trzech warunków: f(x,y) \le 0 (1) g(x,y) \le 0 (2) f(x,y)+g(x,y) \ge 0 (3) to: f(x,y)=g(x,y)=0 Dowód lematu: Sumując równości (1) i (2), mamy: f(...