Matematyka.pl

Tutaj trzeba użyć następującego twierdzenia, które podam w elementarnej formie: Niech f_n:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} będzie ciągiem funkcji różniczkowalnych takich, że: 1) ciąg pochodnych Df_n zbiega jednostajnie na [a,b] do pewnej funkcji g 2) istnieje x_0\in [a,b] takie, że \{f_n(x_0)\}_{n\in \NN...

Jeśli f jest granicą jednostajną ciągu f_n , to jest też jego granicą punktową. Granica punktowa jeśli istnieje, to jest jednoznaczna. Stąd jeśli Twój ciąg funkcji ciągłych f_n zbiega jednostajnie do funkcji f , to f jest ciągła i jest też jego granicą punktową. Ale widać, że w Twoim przypadku grani...

Ad.1 Jest trudne do oceny, o co tak naprawdę chodzi w tym pytaniu, bo zdanie jest równoważne np. samo z sobą. W każdym razie, poprawnie napisałaś równoważne zdanie w języku formalnym. Dodałbym tylko wyjaśnienie, że N(x) to relacja bycia człowiekiem, a L(x) to relacja bycia niepełnosprawnym. Ad.2 Neg...

Ad.3 x\in A\setminus (A\setminus B) \Leftrightarrow [x\in A \wedge \neg (x\in A\setminus B)] \Leftrightarrow [x\in A \wedge \neg(x\in A\wedge x\not \in B))] \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow [x\in A \wedge (x\not \in A \vee x\in B)] \Leftrightarrow [(x\in A \wedge x\not \in A) \vee (x\in A \wedge x\...

Baza ortonormalna(względem ustalonego iloczynu skalarnego na przestrzeni euklidesowej) to zbiór(albo ciąg) wektorów, które: 1)rozpinają przestrzeń wektorową 2)są wzajemnie prostopadłe(względem tego ustalonego iloczynu skalarnego) 3)każdy ma długość=1(gdzie długość zdefiniowana jest znowu przy użyciu...

Postanowiłem podać trochę łatwiejszy przykład(w moim subiektywnym odczuciu). Weźmy kanoniczny epimorfizm: \phi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} Wtedy \mathrm{ker}(\phi)\cong \mathbb{Z} i nie może być: \mathbb{Z}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} bo po lewej stronie nie ma elementów...

Jak zasugerował a4karo warto sprawdzić, co jest granicą punktową tego ciągu. Jest nią: f(x)=\begin{cases}0\mbox{ dla } x>0\\ 1\mbox{ dla } x=0 \end{cases} Z tego, że granicą punktową jest funkcja nieciągła wynika, że ciąg ten nie może być zbieżny jednostajnie, bo ciąg jednostajnie zbieżnych funkcji ...

Podpunkt 1) to ideał prawostronny. Podpunkt 2) to ideał lewostronny. Na odwrót niż napisałaś. Natomiast 3) nie musi być ideałem obustronnym. Nie musi być nawet ideałem lewostronnym ani prawostronnym, bo jeśli x\in A to: (s_1x_1s_1+...+s_nx_ns_n)x=s_1x_1s_1x+...+s_nx_ns_nx nie musi być elementem z SA...

Wynik poprawny. Do rozwiązania mam taką uwagę, że ta dziwaczna zmiana orientacji jest niepotrzebna i notacyjnie błędna. Można zrobić tak: \int_{AB}xdx+ydy=\frac{1}{2} tak jak Ty rozwiązałeś tylko napisz, że t\in[0,1] . Na krzywej BC bierzemy: x(t)=1-t,\,y(t)=t,\,t\in [0,1] wtedy: \int_0^1(1-t)(-1)+t...

Tak. Zwróć tylko uwagę, że jest \(\displaystyle{ P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\). Zatem \(\displaystyle{ P}\)(wyrażenie przy \(\displaystyle{ dx}\)) różniczkujemy po \(\displaystyle{ y}\), natomiast \(\displaystyle{ Q}\)(wyrazenie przy \(\displaystyle{ dy}\))po \(\displaystyle{ x}\) i odejmujemy. Ten warunek wynika z twr. Stokesa.

Niech \{q_n\}_{n\in \NN} to ciąg wszystkich liczb wymiernych z [0,1] . Dla każdego m\in \NN definujemy: G_m=\bigcup_{n\in \NN}(q_n-\frac{1}{2^{m+n+1}},q_n+\frac{1}{2^{m+n+1}})\cap [0,1] Każdy ze zbiorów G_m jest otwarty w [0,1] i zawiera zbiór \mathbb{Q}\cap [0,1] . Stąd G_m jest otwarty i gęsty w [...

No dobrze. Nie jestem specjalista od układów dynamicznych, ale... Oczywiście każdy czynnik: \mathbb{Z}/b_k\mathbb{Z} jest dyskretną przestrzenią topologiczną i jednocześnie skończoną grupą. Można go traktować jako zwartą grupą topologiczną. Produkt: \prod_{k\geq 1}\mathbb{Z}/b_k\mathbb{Z} jest zatem...

Warunek wystarczający(i raczej konieczny) na to, żeby całka: \int_\alpha}P(x,y)dx+Q(x,y)dy była niezależna od drogi całkowania można uzyskać np. z ogólnej postaci twierdzenia Stokesa lub z jednego z wniosków(wydaje mi się, że w tym wypadku chodzi o wzór Green'a). W każdym razie, ten warunek to: \fra...

Rozumowanie niewprost, chociaż da się to przerobić na argument wprost, co jest zawsze lepsze. Niech f_1,...,f_n,... będzie przeliczalnym gęstym podzbiorem przestrzeni BC(\mathbb{R}) . Każdy f_n jest funkcją ciągłą i ograniczoną. Następnie weżmy jakikolwiek dyskretny podzbiór a_1,...,a_n,... w \mathb...