Matematyka.pl

Hint:
\(\tg x+ \frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{1}{\cos x}\) połącz z \((a,b,c)-CA\iff 2b=a+c\)

Pozdrawiam

Tak.

Pozdrawiam

Wg mnie, ze średniej kwadratowej i arytmetycznej idzie
\[\sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \ge \frac{|a|+|b|}{2}\]
Pozostaje uzupełnić
\[\frac{|a|+|b|}{2}\ge \frac{a+b}{2}\]
Pozdrawiam

Ja bym rozstrzygnął tak:
\[x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=8\\
\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2x\cdot\frac{x}{x+1}-8=0\\
\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\cdot\frac{x^2}{x+1}-8=0\]
Pozdrawiam

Z wzoru Picka: \(p=w+{1\over2}b-1\). Jeśli \(p>n\) oraz zagwarantujemy \(b=0\), to \(w+0-1>n\) i teza jest prawdziwa.

Pozdrawiam

36. Przyjmijmy, że \(r_i\) jest różnicą pomiędzy pozycją \(i\)-tej osoby przy stole a pozycją karteczki tej osoby na stole (licząc w orientacji dodatniej). Skoro nikt nie siedzi na swoim miejscu, to \(r_i\in\{1,2,3,\ldots, 99\}\) . Ponieważ możliwości różnic jest \(99\) a osób \(100\), to istnieją ...

Sprawdziłem:
\[t^3-9t^2+26t-24=0\iff t\in\{2,3,4\}\]
Pozdrawiam

Wg mnie wystarczy w tym zadaniu sprawdzić dwie liczby całkowite, bo:

Warunkiem koniecznym, aby dany ułamek był liczbą całkowitą, jest:
\[|2x-3|\ge|5x+4|\vee 2x-3=0\]
Pozdrawiam

Fakt: Dla każdej nieparzystej liczby pierwszej \(p\) istnieje trójkąt pitagorejski o przyprostokątnej długości \(p\). Dowód: Niech \(a=p\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą i długością przyprostokątnej trójkąta pitagorejskiego. Wtedy, przy standardowych oznaczeniach, \[p^2+b^2=c^2\iff (c-b)(c+b)=1...

Albo, dla dobrze określonych \(x\), równanie jest równoważne \[ \left(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+14}\right)+ \left( \dfrac{1}{x+2}+ \dfrac{1}{x+12}\right) = \left(\dfrac{1}{x+4}+ \dfrac{1}{x+10}\right)+ \left( \dfrac{1}{x+6}+ \dfrac{1}{x+8}\right)\\ \dfrac{2x+14}{x^2+14x}+\dfrac{2x+14}{x^2+14x+24}=\d...

Albo:
\(2^{31}=2\cdot8^{10}<3\cdot9^{10}=3^{21}\)

Pozdrawiam

Dla \(n=2\) tak nie jest.

Pozdrawiam

Wg mnie, wśród trójkątów pitagorejskich, jest jeden: \(7,\ 24,\ 25\).

a) Ja bym po prostu permutował skrzynie w wagonach!

Pozdrawiam

Ja by na początek odjął te ułamki i uporządkował tę różnice...

Pozdrawiam