Matematyka.pl

Polecam też:
... lwXTTgYKIv

12. Pokażę więcej: Jeżeli \tan^2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus \left\{ 0,\frac13,1,3 \right\} to \alpha\notin\mathbb Q . Jeśli \tan^2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus \left\{ 0,\frac13,1,3 \right\} , to 2\cos2\alpha\pi\in\mathbb Q\setminus\mathbb Z (wynika to z tożsamości \tan^2x=\frac1{\cos^2x}-1=\fra...

Krok indukcyjny (zakładamy, że D_n=\frac{p+(2^n-1)D}{2^n} i chcemy pokazać, że D_{n+1}=\frac{p+(2^{n+1}-1)D}{2^{n+1}} ): Każdy element D_{n+1} jest postaci \frac{a+d}2 , gdzie a\in D_n oraz d\in D . Jeśli a\in D_n=\frac{p+(2^n-1)D}{2^n} to a=\frac{p+(2^n-1)d'}{2^n} dla pewnego d'\in D . Zatem \frac{...

We wtorek zasnąłeś mając dług 4 tys. zł. W środę miały miejsce dwa zdarzenia: 1) dostałeś tygodniówkę od starych: 4 tys. zł. 2) twój wierzyciel zdecydowanie za bardzo zapił i jego żywot się zakończył (i nie zostawił spadkobierców). Jaki jest bilans tej środy? Ile zyskałeś? Liczymy: 4-(-4)=8 Zyskałeś...

Pytania obrazkowe mają poważną wadę: Wystarczy prawy przycisk myszy i po kilku sekundach zna się odpowiedź. Też ją dzięki temu znam. W przypadku tego pytania były chyba małe szanse, by tego jegomościa znać bez uciekania się do takiej metody. Nie ma on nawet swojego artykułu na polskiej Wikipedii (ch...

f\left(\frac1{2^{p+1}}\sum_{i=1}^{2^{p+1}}x_i\right) =f\left(\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i+\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i}2\right)\\ \leq\frac{f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i\right) +f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i\right)}2 \leq\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}f(x...

Spróbujmy bez rachunków. Chodzi o zminimalizowanie sumy długości pogrubionych odcinków: \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (6,0); \coordinate (C) at (6,4); \coordinate (D) at (0,4); \coordinate (P) at (1,2.5); \coordinate (Q) at (4,1.5); \draw (A) node[anchor=north] {$A...

Korzystając z równości x+y+z=7 , xyz=9 , nieujemności kwadratów i dodatniości x,y,z dostajemy: 0\leq\left(\frac{(y-z)^2}{2+y+z}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3 =\left(\frac{(y+z)^2-4yz}{9-x}+\frac{(x-1)^2}x\right)\cdot\frac{(x-3)^2}3\\ =\left(\frac{(7-x)^2-2^2-4\cdot\frac{xyz-x}x}{9-x}+\f...

mam takie zadanie: P(N=k)=pq^k ; p=1-q ; k=0,1,2,\dots Wykazać, że: P(N>k+j|N>k)=P(N>j) . W warunku braku pamięci powinieneś mieć słabe nierówności: P(N\geq k+j|N\geq k)=P(N\geq j) I dalej tak, jak robisz (wklejam Twoje rachunki z odpowiednimi zmianami): L=\frac{P(N\geq k+j\,\,\,\textrm{i}\,\,\,N\g...

Bo zamiast jednego \(\displaystyle{ n}\) w układzie napisało się \(\displaystyle{ p}\). Już poprawiłem.

Niech: n - prawdopodobieństwo tego, że koniec będzie po nieparzystej liczbie rzutów, p - prawdopodobieństwo tego, że koniec będzie po parzystej liczbie rzutów. Ponieważ z prawdopodobieństwem 1 koniec nastąpi po skończonej liczbie rzutów, więc n+p=1 . Ponadto mamy n=\frac25\cdot p+\frac35\cdot\frac25...

Udało mi się wygrzebać fakt, że . Ale to dość długi i techniczny wynik. Dla sfery 2 - wymiarowej istotnie łatwiej. Wooow. Ale czad. Fajne odkrycie ten artykuł. Prawdę mówiąc wymyśliłem to w nie więcej, niż 15 minut. Nie przyszło mi nawet do głowy szukać, bo uznałem, że to proste i nie spodziewałem ...

Wszystko się zgadza. Złote floreny (/dukaty/guldeny) zaczęto bić we Florencji od około 1252 i szybko ten typ monety przyjął się w całej Europie. Całe mnóstwo florenów/dukatów bito na Węgrzech, w Kremnicy. Węgrzy byli potentatem, jeśli chodzi o wydobycie złota (podobnie, jak Czesi w przypadku srebra)...

Całkiem ciekawe zadanie. Warto jeszcze dodać, że dla n losowo i niezależnie wybranych punktów na sferze w \mathbb R^d prawdopodobieństwo, że punkty te leżą na jednej półsferze wynosi \frac{\sum_{k=0}^{d-1}{n-1\choose k}}{2^{n-1}} ( d,n całkowite, dodatnie, ponadto jak zwykle przyjmujemy {i\choose j}...

Z groszy słynęły właściwie dwa pierwsze. Tours z groszy turońskich, bitych od czasów Ludwika IX Świętego do czasów jego wnuka, Filipa IV Pięknego, czyli łącznie gdzieś od 1266 do 1295. Filip IV zaczął psuć monetę, ale zanim to zrobił, grosze te stały się powszechnie używane. Grosze te stały się jedn...