Matematyka.pl

Moje przemyślenia: jeśli chodzi o zadanie 8. , to wydaje się, że można by to było robić tak: Widzimy natychmiast, że pole tr. ABE stanowi trzecią część trójkąta ABC . Poprowadźmy prostą równoległą do prostej AB przez punkt E i przetnijmy ją z prostą CD w punkcie X . Z twierdzenia Talesa widzimy naty...

Implikacja w drugą stronę jest prawdziwa, o ile istnieje pierwiastek pierwotny modulo \(\displaystyle{ m}\).

Niech \(\displaystyle{ 0<a_0<a_1< \ldots < a_n}\) będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych. Wykazać, że wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego
\(\displaystyle{ w(z)=a_0+a_1z+ \ldots + a_n z^n}\) leżą w dysku \(\displaystyle{ \left\{ z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\right\} }\).

Już jest blisko: zobacz dalej, że \(\displaystyle{ \frac{DL}{LB}=\frac{DP}{EB}}\) oraz, że \(\displaystyle{ \frac{BK}{KD}=\frac{BQ}{FD}}\). Powinno to już dać tezę.

Ogólniej, jeśli weźmie się \(\displaystyle{ R}\) dowolną grupę abelową i zada się na \(\displaystyle{ R}\) strukturę pierścienia z zerowym mnożeniem, to dostajemy pierścień, w którym każdy element jest nilpotentny

Zakładam, że pierścień jest niezerowy, przemienny z 1 . Jeśli element pierścienia x jest nilpotentny, to należy do ideału maksymalnego tego pierścienia (a ogólniej, do dowolnego ideału pierwszego). Ideał maksymalny to w szczególności podgrupa, zatem rząd ideału maks. dzieli rząd pierścienia n . Wyni...

Równość o która pytasz wynika z rozważenia rzutu o środku w punkcie R.

Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym. W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy? Ogólnie nie jest prawdą, że jeśli pierścień ma dokładnie jeden ...

Nie rozumiem. Co ma dowolna liczba pierwsza p do liczby 5? Nie jest prawdą to wyżej; jakaś liczba pierwsza p zwykle dzieli rząd grupy, ale nie oznacza to, że w grupie jest element rzędu 5

Pewnie jak nie można z twierdzenia Cauchy'ego korzystać, to z Sylowa – tym bardziej :P Łatwiejsza część zadania - wykazać, że każda grupa rzędu 15 ma element rzędu 3 . Wskazówka: założyc przeciwnie, że nasza grupa nie ma elementu rzędu 3 . Wtedy tym bardziej nie ma elementu rzędu 15 . Jaka jest konk...

To, że ciało FL jest skończonym rozszerzeniem ciała F jest nietrudne; rozważmy zbiór M=\left\{ \sum_{i=1}^{m} a_i b_i \ : \ a_i \in F, b_i \in L, m \in \mathbb{N} \right\} . Wtedy M jest przestrzenią wektorową nad ciałem F ; co więcej jest ona skończonego wymiaru, gdyż biorąc bazę c_1 , \ldots , c_k...

Topologia na produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznym jest wybrana tak, aby rzutowania były odwzorowaniami ciągłymi (jest to tak zwana słaba topologia). Co więcej, każda z przestrzeni X_i zanurza się homeomorficznie w produkt \prod_{i \in I}^{} X_{i} ; wynika stąd, że jeśli produkt \prod_{i...

Można powołać się na łatwy fakt, iż każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest rozwiązaniem pewnego jednorodnego układu równań liniowych (o odpowiednim rzędzie, dopełniającym wymiar podprzestrzeni do \(\displaystyle{ n}\)). Odpowiednia niejednorodność da nam żądaną podprzestrzeń afiniczną

Weźmy macierz nilpotentną A \in M_{n \times n} . Niech v \neq 0 będzie dowolnym niezerowym wektorem. Istnieje wówczas s \leq n takie, że A^s v=0 (bierzemy najmniejsze takie s ). Wówczas wektory v,Av, \dots , A^{s-1} v są liniowo niezależne. Co więcej podprzestrzeń rozpięta przez te wektory jest A -n...

Co do zadania 2. a) ten zbiór nie jest pierścieniem; gdyby tak było to \sqrt{6}=a+b \sqrt{2}+c \sqrt{3} dla pewnych a,b,c \in \mathbb{Q} , a to jest niemożliwe (proste sprawdzenie) b) Zachodzi fakt ogólny: niech X będzie pewnym zbiorem (niepustym), zaś R - pierścieniem (z jedynką). Wówczas zbiór fun...