Matematyka.pl

Zawsze można też spróbować doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \frac{\ln(1+t)}{t}\stackrel{t\to 0}{\longrightarrow}1}\).

Takie coś z Hospitala? Wstydzilibyście się, \(\displaystyle{ \sqrt[2n]{n^3}=\sqrt{ \left( \sqrt[n]{n} \right) ^3 }}\).

Nigdzie nie jest napisane, że to jest ciąg. Hm, ciekawe co to może być, jesteśmy w dziale "Własności i granice ciągów", jest napisane a_n=\frac{\ln (1+ \frac{3}{n}) }{ \frac{1}{n} } , ciekawe co to? Poza tym nie jest to oczywiste, że do nieskończoności. A to są granice ciągów nie w niesko...

1. Najpierw dobrze zastosuj wzór na różnicę cosinusów. 2. Licznik możesz rozpisać ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin 2\alpha}\).

3. i 4. \(\displaystyle{ x-1<E(x)\leq x}\).

Libertarian pisze:Tak nie, można tego zrobic. Juz to rozwiązałem, szereg jest rozbiezny, wystarczy zauwazyc, ze szereg jest postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n \cdot a_n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) też jest postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n\cdot a_n}}\).

Za dużo kombinujesz
\(\displaystyle{ \frac{a^{x^2} + b^{x^{2}} - a^x - b^x}{a^x + b^x} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{a^x+b^x}\cdot \Big(\frac{a^{x^2}-a^x}{x}+\frac{b^{x^2}-b^x}{x}\Big)}\).

Masz wyrażenie \(\displaystyle{ \Big(\frac{3}{4}\Big)^\infty}\), a to od razu równa się 0.

Niech \(\displaystyle{ g(x)=\left| \cos\left( 1- \frac{x}{n} \right) - \cos 1\right|}\). Wtedy \(\displaystyle{ \sup_{x\in\mathbb{R}}g(x)\ge g(n)=1-\cos 1\not \to 0}\). Choć to trochę taka sztuka dla sztuki.

Ta, jest ok, tylko może by to jeszcze ładniej zapisać.

Jeśli wyrazy tych podciągów są prawie wszystkimi wyrazami wyjściowego ciągu, to tak. Ale nie wiem jak to ma pomóc w tym zadaniu.

\(\displaystyle{ \frac{a^{x^2}-a^x}{x}=\frac{x(a^{x^2}-1)+x(1-a^x)}{x^2}=x\frac{a^{x^2}-1}{x^2}-\frac{a^x-1}{x}}\)
A powinno się uprościć bardzo ładnie, \(\displaystyle{ \tg^2 t+1=\frac{1}{\cos^2t}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ N} \ln\left( 1- \frac{1}{n^2} \right)=\ln \bigg(\prod_{n=2}^N \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)\bigg)}\)
a jak wypiszesz parę pierwszych wyrazów tego iloczynu, to zauważysz, że dużo się upraszcza.
2) Podziel to sobie na wyrazy parzyste i nieparzyste.

Skoro \frac{a^t-1}{t}\stackrel{t\to 0}{\longrightarrow}\ln a , to i \frac{a^{x^2}-1}{x^2}\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}\ln a , bo przecież x^2\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}0 , a stąd \frac{a^{x^2}-b^{x^2}}{x^2}\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}\to \ln a-\ln b . 6) Różnica cosinusów. Tak, ten...

1. \ln n\leq \sqrt{n} od pewnego n . \lim \left( \frac{3n-1}{4n+2} \right) ^{7^n} \arcsin \frac{1}{n!} odp. 0 mi wychodzi e^{- \infty } \arcsin (0) Pomijając fakt, że niebardzo można tu zastosować granicę z e , to ile to jest e^{-\infty}\arcsin 0 ? \lim \arccot \frac{1}{ \sqrt{2n^2+1}- \sqrt{2n^2-1}...