Matematyka.pl

Można też uzasadnić, że dla ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) o wyrazach dodatnich z istnienia granicy (skończonej lub nie) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=:G}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=G}\).

By udowodnić ten fakt warto skorzystać w pewnym momencie z zależności \(\displaystyle{ a=\textrm{e}^{\ln a}}\).

Taka drobiutki offtopic :) fajnie wiedzieć, że na to, by funkcja d:X\times X\to\mathbb{R} była metryką potrzeba i wystarcza, by spełnione były następujące dwa warunki: 1. dla dowolnych x , y ze zbioru X zachodzi d(x,y)=0 wtedy i tylko wtedy gdy x=y . 2. dla dowolnych x,y,z ze zbioru X zachodzi d(x,y...

\(\displaystyle{ W(x)=10x+1}\), \(\displaystyle{ W(x)=100x+11}\).

28 inaczej f(a,b)=3a^2-2ab+3b^2 f'(a,b)_a=6a-2b f'(a,b)_b=-2a+6b f''(a,b)_{aa}=6 f''(a,b)_{bb}=6 f''(a,b)_{ab}=-2 Jedynym punktem stacjonarnym jest punkt (0,0) W=36-4=32 Mamy więc w punkcie (0,0) minimum, które wynosi 0 , więc f(a,b) \ge 0 Rozwiązanie lepsze, ponieważ każdy uwielbia rachunek różnic...

Taki szkic:

Wybierasz \(\displaystyle{ m+1}\) liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, 2, \ldots, n+1}\}}\).

W tym wybranym zbiorze może być pewna liczba największa \(\displaystyle{ k}\), oczywiście \(\displaystyle{ k\in\{m+1, \ldots, n+1\}}\).

arek1357 pisze: A jak masz biegun jednokrotny residuum policzysz z uproszczonego wzoru:

\(\displaystyle{ Res\left[ \frac{f(z)}{g(z)} \right]_{z_{0}= \frac{\pi}{2}}= \frac{f( \frac{\pi}{2} )}{g'( \frac{\pi}{2} )}}\)

Trzeba jeszcze coś założyć dodatkowego, bo np. w przypadku funkcji \(\displaystyle{ \frac{z}{\sin^2z}}\) w zerze to nie działa.

Podstawiłbym \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\). Ponadto wtedy zauważ, że granicę wyrażenia \(\displaystyle{ -3te^{-2t}}\) bardzo łatwo policzyć, i zastanów się nad tym jak policzyć granicę pozostałego wyrażenia (można zrobić bez reguły (H) jak się zna granicę \(\displaystyle{ \lim_{\alpha\to 0}\frac{e^{\alpha}-1}{\alpha}=1}\).)

Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \frac{1-\cos x}{\sin x}}\) zbiega do zera. Ponadto zauważ, że \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{x}}\) jest ograniczony.

Skorzystaj z postaci trygonometrycznej / wykładniczej liczby zespolonej.

A macie może zadania? Na stronie konkursu jeszcze chyba nie ma.

janusz47, to nawet 'jeszcze gorzej' w Twoim rozwiązaniu - nie możesz sobie po prostu przechodzić do granicy w jednym miejscu wyrażenia, a w drugim nie (bez uzasadnienia), może to prowadzić do sprzeczności.

Kilka razy spotkalem sie z tym, ze kryt. d'Alemberta niektorzy formuluja dla szeregow o wyrazach niezerowych, wtedy jezeli rozpatrujemy szereg \sum a_n , i jezeli istnieje granica: K:=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, i jezeli K<1 , to szereg jest zbiezny (i mozna dodac, ze bezwzgle...

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) jest zbieżny, więc jest ograniczony.

Raczej \(\displaystyle{ 2\cos(n\phi)}\), ale to wyjdzie w trakcie liczenia.

Wskazówka: skorzystaj z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.