Znaleziono 170 wyników

autor: Liga
10 lip 2009, o 23:36
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 224

Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:51

Zadanie 1 - brak Zadanie 2. Oznaczmy przez x wagę stopu pierwszego, a przez y wagę stopu drugiego (tzn ilość, jaką trzeba wziąć do końcowego stopu; interesuje nas oczywiście stosunek x do y) Z treści zadania otrzymujemy, że w pierwszym stopie jest \frac{1}{3}x miedzi i \frac{2}{3}x cynku. W drugim s...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:35
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 5 lipca 2009, 13:47
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 229

Kategoria II, 5 lipca 2009, 13:47

Zad.1 Niech xy=z . Maksimum f(z)=z-z^{2} wynosi \frac{1}{4} . Wobec tego y^{6}+y^{3}+2x^{2}= \sqrt{xy-(xy)^{2}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow -y^{6}-y^{3}-2x^{2} \ge - \frac{1}{2} . Dodaję otrzymaną nierówność do nierówności z zadania: 4xy^{3}+ \frac{1}{2}-y^{6}-2x^{2} \ge -\frac{1}{2}+2x^{2}+ \sqrt{1...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:35
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 10 lipca 2009, 19:17
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 309

Kategoria I, 10 lipca 2009, 19:17

Zadanie 1. Udowodnię, że w przedziale od 1 do 2009 nie istnieje 15 liczb całkowitych względnie pierwszych, nie będących liczbami pierwszymi. Aby liczba nie była pierwsza musi być iloczynem liczb pierwszych, najlepiej dwóch (wtedy jest możliwie najmniejsza), albo kwadratem liczby pierwszej. Pokaże że...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:33
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 232

Kategoria II, 5 lipca 2009, 20:13

Zadanie 1. Odejmując stronami równania otrzymujemy: ( y^{3} -2x)^{2} \le \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} - \sqrt{1+(2x-y)^{2}} + \frac{1}{2} zauważmy, że xy-x^{2}y^{2} \le \frac{1}{4} zetem \sqrt{xy- x^{2}y^{2}} \le \frac{1}{2} oraz \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1 stąd otrzymujemy, że 0 \le ( y^{3} -2x)^{2} \le \sq...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:32
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:29
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 256

Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:29

Zadanie 1) Niech x, y\in R będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Zauważmy, że \sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(xy-\frac{1}{2})^2}\leq\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} , więc z warunków zadania dostajemy 2x^2+1\geq 2x^2+\sqrt{xy-x^2y^2}+\frac{1}{2}=4x^2+y^6+y^3+\frac{1}{2}= =(2x-y^3)^2+4xy^3+y...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:30
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 238

Kategoria II, 10 lipca 2009, 20:17

zadanie 1 Najpierw zajmiemy się dziedziną: D=\{ (x,y) \in R^{2}: xy-x^{2}y^{2} \ge 0 \wedge 1+(2x-y)^{2} \ge 0} \} . Druga nierówność jest zawsze spełniona zajmiemy się pierwszą. Przekształcamy ją i mamy xy(1-xy) \ge 0 , a dalej rozważamy dwa przypadki (1) xy \le 0 \wedge 1-xy \le 0 (2) xy \ge 0 \we...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:28
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 302

Kategoria I, 10 lipca 2009, 21:27

Uwaga: Po naciśnięciu w link pojawi się ilustracja do zadania (przedstawia ona ważniejsze rzeczy [zad. 2 oraz 5]. Zadanie 1. Danych jest 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009, przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, ...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:25
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 308

Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25

Zadanie 1. Z: a_{1}, a_{2},...,a _{15} \in Z . 1 <a_{1} < a_{2}<...<a _{15} <2009 . Liczby a_{1}, a_{2},...,a _{15} są parami względnie pierwsze. T: Co najmniej jedna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} jest pierwsza. D: Udowodnijmy to nie wprost (załóżmy, że żadna z liczb a_{1}, a_{2},...,a _{15} nie ...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:21
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 225

Kategoria II, 4 lipca 2009, 20:37

zad. 2 1 stop zawiera: x miedzi 2x cynku 2 stop zawiera: 3y miedzi 5y cynku Stop 3 otrzymujemy z połączenia p% stopu 1 i (100-p)% stopu 2 i zawiera on z substancji. Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi ze stopu 1. = \frac{1}{3} p \% z . Ilość miedzi zawartej w 3 stopie, która pochodzi z...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:20
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 313

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

1. Niech 0 \le a \le 1 . Znajdź wszystkie funkcje ciągłe f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+ spełniające trzy następujące warunki: \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2 Rozwiązanie: Pokażemy, że nie istnieje funkcja spełniająca za...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:18
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 17:34
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 357

Kategoria II, 10 lipca 2009, 17:34

Zad. 2 x:y stosunek w jakim należy wziąć oba stopy 1*x+3*y=5 2*x+5*y=9 x=5-3y 10-6y+5y=9 y=1 x=5-3=2 odp. Stosunek w jakim należy wziąć obydwa stopy to 2:1. Zad.3 Z:u _{n+1}=2u _{n} +7 dla n ge 1 T: u _{n} <9001 u_{1}=1 u _{2} =9 u _{3} =25 u _{4}=57 u _{5} =121 u _{6} =249 u_{7} =505 u_{8} =1017 u_...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:17
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 6 lipca 2009, 13:24
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 224

Kategoria II, 6 lipca 2009, 13:24

2. x_{1} - ilość pierwszego stopu x_{2} - ilość drugiego stopu \frac{x_{1}}{x_{2}}=? Miedź stanowi \frac{1}{3} pierwszego stopu, \frac{3}{8} drugiego stopu i ma stanowić \frac{5}{14} stopu otrzymanego z połączenia tych dwóch stopów. Można więc ułożyć równanie: \frac{1}{3}x_{1}+ \frac{3}{8}x_{2}= \fr...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:15
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 331

Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22

1. Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem: a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m} k,n,m=1,2,... gdzie p _{i} to liczba pierwsza. Składniki ciągu (a _{k}) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby. Może...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:14
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 211

Kategoria II, 6 lipca 2009, 19:50

1. Zanim przejdę do rozwiązania zadania, wykażę lemat: Jeżeli dla dowolnych funkcji zmiennych rzeczywistych f(x,y), g(x,y) zachodzą wszystkie z poniższych trzech warunków: f(x,y) \le 0 (1) g(x,y) \le 0 (2) f(x,y)+g(x,y) \ge 0 (3) to: f(x,y)=g(x,y)=0 Dowód lematu: Sumując równości (1) i (2), mamy: f(...