Znaleziono 170 wyników

autor: Liga
10 lip 2009, o 23:55
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 6 lipca 2009, 12:24
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 282

Kategoria II, 6 lipca 2009, 12:24

Zad. 1. Założenie: xy-x^2y^2 \ge 0 \Leftrightarrow xy \in <0;1> . Dany układ: \begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2} \\ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \end{cases} jest równoważny układowi: \begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2} \\ -(y^3-2x)^2+\frac{1}{2}+y^6+y^3+2x^2 ...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:53
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Firmówki rozw.
Odpowiedzi: 0
Odsłony: 205

Firmówki rozw.

Kategoria I 1. Danych jest 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009, przy czym są one parami względnie pierwsze (nie mają żadnego wspólnego dzielnika pierwszego). Udowodnij, że wśród tych 15 liczb jest przynajmniej jedna liczba pierwsza. Wskazówka: Liczb pierwszych nie większych od ...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:46
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria III, 7 lipca 2009, 22:49
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 254

Kategoria III, 7 lipca 2009, 22:49

1. Rozważmy całkę \int_{0}^{1} f(x)(x-a)^2 dx . Otóż: \int_{0}^{1} f(x)(x-a)^2 dx = \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx - \int_{0}^{1} 2axf(x) dx \int_{0}^{1} a^2f(x)dx = a^2 - 2a^2 + a^2 = 0 Ponieważ f(x)(x-a)^2 \ge 0 , a całka z tego się zeruje zatem f(x)(x-a)^2=0 dla x \in [0,1] . Sprzeczność, gdy x \neq a ...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:45
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 226

Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22

Zadanie I \begin{cases} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ 4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases} Dodaję teraz prawą stronę równania do lewej strony nierównosci, a lewą równania do prawej nierówności. \sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sq...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:45
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 339

Kategoria I, 7 lipca 2009, 09:19

1. Załóżmy nie wprost, że wśród danych 15 liczb całkowitych większych od 1 i mniejszych od 2009 wszystkie są liczbami złożonymi. Oznaczałoby to, że w rozkładzie na czynniki pierwsze każdej z tych liczb występują co najmniej dwa czynniki. Przy czym, jeżeli jeden czynnik pierwszy występuje w rozkładz...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:42
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 15:54
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 216

Kategoria II, 10 lipca 2009, 15:54

ZADANIE II.1 Jedyne niepełne zadanie z mojej strony. (1a) Sprawdzenie dla x=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi y=0 (NIE, bo nierówność wychodzi 0,5 \ge 1 ) lub y=-1 wówczas w nierówności wychodzi -0,5 \ge \sqrt{2} (1b) Sprawdzenie dla y=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi 2x^2 = 0 , czyl...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:42
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 6 lipca 2009, 14:37
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 290

Kategoria I, 6 lipca 2009, 14:37

Zad 1 Załóżmy przeciwnie, że żadna z danych liczb nie jest pierwsza. Ma wtedy ona co najmniej 2 pierwsze dzielniki (niekoniecznie różne). Wiemy, że wszystkie 15 liczb jest względnie pierwszych, a zatem żadne dwie nie mają takiego samego dzielnika, więc skoro mamy 15 liczb, większych niż 1, to co naj...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:41
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:05
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 212

Kategoria II, 10 lipca 2009, 18:05

Witam, moje rozwiązania zadań znajdują się na stronie http://www.dopobrania.w8w.pl . Aby je zobaczyć należy kliknąć na widoczny na tej stronie przycisk. Zadania są w formacie pdf. Pozdrawiam i życzę miłego sprawdzania.
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:40
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 4 lipca 2009, 21:25
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 237

Kategoria II, 4 lipca 2009, 21:25

2. Oznaczmy ilość pierwszego stopu przez x natomiast drugiego przez y . Stop końcowy waży x+y . Ponieważ znamy stosunek metali w 2 stopach możemy zapisać równości (sumujemy ilość danego metalu w stopie i przyrównujemy do ilości metalu w stopie ostatecznym) \begin{cases} \frac{1}{3} x+ \frac{3}{8} y=...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:38
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 275

Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55

1) Przeliczam i wychodzi, że takich funkcji być nie może - w nierówności Cauchy'ego-Schwarza (http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_Schwarz) dla L^2 : (u,v) \leq ||u|| \cdot ||v|| dla iloczynu skalarnego (u,v) = \int_{0}^{1}uv po wstawieniu u = \sqrt{f}, v = x \sqrt{f} dostajemy równość: (u,v) = \int_...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:37
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 313

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Ad. 3. Zróbmy podstawienie : x=bc y= a(a+b+c) x,y\in R_{+} Zauważmy, że lewa strona po pomnożeniu ma postać L=(a+b)(a+c)=a ^{2}+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc=x+y Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną: L=a(a+b+c)+bc=x+y \ge 2 \sqrt{xy}=2 \sqrt{bc \cdot a(a+b+c)}=2 \sqrt{abc(a+...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:37
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 378

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

zad. 1. - co nie co musi być spełniony warunek xy-(xy)^2 \ge 0 skąd wynika, że 1 \ge xy \ge 0 . (łatwo zauwazyc ze nie moze byc xy=0 ) ponadto \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2} . zauważmy teraz, że: \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2 i 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \g...
autor: Liga
10 lip 2009, o 23:36
Forum: Konkurs matematyka.pl
Temat: Kategoria II, 5 lipca 2009, 16:48
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 245

Kategoria II, 5 lipca 2009, 16:48

Zad. 2. Oznaczmy przez x ilość pierwszego stopu, a przez y ilość drugiego stopu, którego trzeba wziąć, aby otrzymać stop, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 5:9 . W pierwszym stopie: - stosunek ilościowy miedzi do cynku wynosi 1:2 , * ilość miedzi dostarczonej do trzeciego stopu wynosi \frac{...