Matematyka.pl

Załóżmy, że x^*_{n} \xrightarrow {\sigma(\ell_{1},c_{0})} x^*, gdzie \sigma(X^*,X) oznacza słabą ^* topologię na X^* indukowaną przez X i \lim_{ n\to \infty} \|x^*_{n}\|=\|x^*\|. Czy z tego faktu możemy wywnioskować, że \lim_{ n \to\infty } \|x_{n}^{*}-x^{*}\|=0? Oczywiście implikacja w drugą stronę...

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ Y=\left\{-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\} \cup \{0\} \cup \{n\in\mathbb{N}\}}\). Czy \(\displaystyle{ Y}\) z topologią euklidesową dziedziczoną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest lokalnie zwarty? Czy \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) z topologią euklidesową dziedziczoną z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest lokalnie zwarty?

Jak wyznaczyć rozkład zmiennej losowej określonej na kwadracie \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1] }\) i takiej, że w każdym punkcie przyporządkowuje wartość funkcji \(\displaystyle{ \frac{x-3y+2}{1+y} }\), mianowicie
\(\displaystyle{ X: [0,1] \times[0,1] \rightarrow \frac{x-3y+2}{1+y}}\)?

Jak pokazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ \ell_{1}}\) jest izometrycznie izomorficzna z sumą prostą swoich dwóch kopii?

Przy czytaniu artykułu do pracy natknęłam się na następujące oznaczenie:
\(\displaystyle{ \sigma(X^{*},X)-compact}\). Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić co to znaczy i polecić jakąś literaturę w tym temacie?

Czemu gdy, \(\displaystyle{ X}\) nie jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalne nie można tak zrobić?

\(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A},P)}\)-przestrzeń probabilistyczna, \(\displaystyle{ X}\)-zmienna losowa całkowalna, \(\displaystyle{ \mathcal{F} \subset \mathcal{A}}\)-\(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało. Jak udowodnić, że jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalna, to \(\displaystyle{ E(X|\mathcal{F})=X}\)?

Pojęcia izometrii liniowej i izometrycznego izomorfizmu są wymienne? Izometryczny izomorfizm jest izometrią liniową, bo tak wynika z definicji, ale jak jest w drugą stronę?

Wiadomo, że jeśli jakiś zbiór z określonymi działaniami jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej to jest przestrzenią liniową. Czy w drugą stronę też to można tak od razu stwierdzić? Czy fakt bycia przestrzenią liniową i zawierania w dowolnej przestrzeni liniowej czyni ją od razu podprzestrzenią te...

Niech (X,||\cdot||) będzie przestrzenią Banacha i niech C([a,b],X) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych z normą ||\cdot||_{\sup} . Pokazać, że wówczas dla każdego k>0 i dowolnego t_{0}\in[a,b] funkcja ||\cdot||:C([a,b],X)\rightarrow[0,\infty) zadana wzorem: ||x||_{k}=\sup_{t\in[a,b]}||x(t)||...

Mamy dwie normy w B(X) , standardową \|x\|_{\infty} i daną wzorem: \|x\|=|x(u_{0})|+\sup_{u,v \in X} |x(u)-x(v)| , gdzie u_{0} jest dowolną ustaloną liczbą z X . Trzeba pokazać, że są one równoważne. W jedną stronę wyszło mi coś takiego: \|x\|=|x(u_{0})|+\sup_{u,v \in X}|x(u)-x(v)|\leqslant \sup_{u\...

Jest przestrzenią liniową i algebrą. Czy tak samo można postępować badając strukturę algebraiczną np. zbioru funkcji całkowalnych na zbiorze względem miary?

Każda funkcja stała jest mierzalna, tak samo przeciwna do danej funkcji mierzalnej jest mierzalna, suma, różnica i iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny. Stąd mam, że dodawanie i mnożenie funkcji mierzalnych są działaniami wewnętrznymi, element neutralny w dodawaniu to funkcja stała tożsamościo...

Jak opisać strukturę algebraiczną zbioru funkcji mierzalnych?

Oblicz \int_{0}^{2r} \mbox{d}x \int_{- \sqrt{ 2rx-x^{2}}}^{\sqrt{2rx-x^{2}}} \mbox{d}y \int_{0}^{ \sqrt{4r^2-x^2-y^2} } \mbox{d}z korzystając z współrzędnych walcowych. Po przekształceniu otrzymałam następującą całkę: \int_{- \frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} \mbox{d}\alpha \int_{0}^{2rcos\alpha } \mb...