Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a, b, c>0, a+b+c=3}\), pokaż że
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b^{3}+c}+\frac{b^{2}}{c^{3}+a}+\frac{c^{2}}{a^{3}+b}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}}\)

a jak wyświetlić wynik poziomo a nie pionowo?

Czyli tak: Tak ale dopiero zaczynam i jak to złożyć do kupy

Jak napisać taki program:
Użytkownik podaje np n=10 a program wypisuje reszty z podzielnośći przez 7 liczb od
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

czyli
1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4.

Może być bez spacji.

Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \prod_{k=1}^{n} \left ( \frac{10^{2^k}-1}{10^{2^k}} \right )}\)

Niech a,b,c będą rzeczywiste nieujemne oraz \(\displaystyle{ a+b+c=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{23}{3\sqrt[3]{4\left ( ab+bc+ca \right )}}}\)

Ja mam w treści tylko o nieujemości.

PoweredDragon pisze:\(\displaystyle{ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a+b+c}{3})^2(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})=1}\)
\(\displaystyle{ (AK)^2=1}\)
\(\displaystyle{ AK=1}\)
gdzie A - śr. arytmetyczna, K - śr. Kwadratowa
Korzystając z tego dasz radę dalej sam?

Niestety nie.

Niecha,b,c będą nieujemne i takie że \(\displaystyle{ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27}\). Wykaż ze
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq6.}\)

Skąd taki wnisek możesz to objaśnić????

Zero i jaki z tego wniosek?

Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln^2 n}{n} \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{\ln k \cdot \ln (n-k)}}\)

Wykaż ze \(\displaystyle{ \sqrt{3}-\frac{15}{16}+\log_2{3}>\sqrt[3]{3}+\frac{1}{81}}\)

Oblicz \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{\sqrt[2]{2}+\sqrt[4]{4}+...+\sqrt[2n]{2n}}{1+\sqrt[3]{3}+...\sqrt[2n-1]{2n-1}} \right) ^n}\)