Ukryta treść:
Znaleziono 289 wyników
- 29 cze 2020, o 15:48
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
- Odpowiedzi: 1400
- Odsłony: 227336
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x, y, z }\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 2 }\). Dowieść, że \(\displaystyle{ x+y+z \leq 2 + xyz }\).
- 17 cze 2020, o 12:20
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [Planimetria] 3 Okręgi i trójkąt
- Odpowiedzi: 1
- Odsłony: 774
Re: [Planimetria] 3 Okręgi i trójkąt
Niech P będzie przecięciem okręgów opisanych na CAB i CKL . Ze znanego lematu o spiralnym podobieństwie (np. punkt P jest środkiem spiralnego podobieństwa przenoszącego odcinek AL na odcinek BK . Żeby okrąg opisany na CDE przechodził rownież przez punkt P , na dokładnie tej samej zasadzie wystarczy...
- 16 mar 2019, o 23:28
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXX OM
- Odpowiedzi: 162
- Odsłony: 48627
Re: LXX OM
Pół biedy jeśli z tym pierwszym to był przypadek, bo takie rzeczy się zdarzają. Ale to co napisałeś wskazuje, że to mogło być zrobione ze świadomością. Jeśli tak jest, to jest to totalna paranoja.
- 16 mar 2019, o 10:02
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXX OM
- Odpowiedzi: 162
- Odsłony: 48627
LXX OM
W kontekście zbliżającego się finału OM, trzymam kciuki przede wszystkim nie za uczestników (bo ci i tak wiem, że sobie poradzą), a za układających i wybierających zadania. Mam nadzieję, że komisja zadaniowa, mając na uwadze bardzo wysoki poziom tegorocznej czołówki, stanie na wysokości zadania (ekh...
- 20 cze 2018, o 15:00
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Obozy OMJ 2016-2017
- Odpowiedzi: 11
- Odsłony: 3575
Re: [MIX] Obozy OMJ 2016-2017
Gdzieś 30 lat temu na IMO pojawiła się jako zadanie nierówność Schura (ta najbardziej podstawowa) i to w szczególnym przypadku. Teraz to byłoby nie do pomyślenia, a generatory i inne takie to młodzi olimpijczycy wypijają już z mlekiem matki:) tak naprawdę, to jeżeli ktoś miałby choć mgliste przypusz...
- 17 cze 2018, o 11:15
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Obozy OMJ 2016-2017
- Odpowiedzi: 11
- Odsłony: 3575
Re: [MIX] Obozy OMJ 2016-2017
22 z 2016: Pomysł jest prosty: wziąć dowolną liczbę pierwszą p taką, że 7 | p-1 i za te liczby a_i wziąć te reszty x , które spełniają x^7 \equiv 1 \pmod{p} - jest ich dokładnie 7. Weźmy np. p = 29 i niech g będzie generatorem multiplikatywnej grupy reszt z dzielenia przez 29 . Niech a_1 = 1, a_2 = ...
- 12 kwie 2016, o 16:51
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVII (67) OM - finał
- Odpowiedzi: 37
- Odsłony: 12819
LXVII (67) OM - finał
To tylko świadczy o tym jak bardzo każdy ma swój własny i osobisty sposób myślenia czy patrzenia na rzeczy. Ja to akurat widzę dokładnie tak jak utyqaq , ale to co wydaję się być naprawdę istotne, to pewnego rodzaju elastyczność w myśleniu i otwartość do zmiany punktu widzenia na zupełnie inny - w k...
- 10 kwie 2016, o 13:32
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVII (67) OM - finał
- Odpowiedzi: 37
- Odsłony: 12819
LXVII (67) OM - finał
Tak, a ci co go jednak nie znają - czyli prawdopodobnie słabsi uczestnicy finału - mają bardzo pod górkę. Więc kompletnie bez sensu, bo to zadanie powinno być "dla nich".
- 7 kwie 2016, o 23:25
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Ostatnie zadania przeróżne
- Odpowiedzi: 34
- Odsłony: 8303
[MIX] Ostatnie zadania przeróżne
Zadanie 10 z całą pewnością można zrobić w jednej linijce (no dobra, w dwóch): Zauważmy, że dzielniki n możemy połączyć w pary postaci \left ( d, \frac{n}{d} \right ) . Mniejszy dzielnik z pary nie przekracza \sqrt{n} , stąd liczba takich par nie przekracza \sqrt{n} . Stąd już wynika, że k \leq 2 \s...
- 7 kwie 2016, o 20:30
- Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
- Temat: LXVII (67) OM - finał
- Odpowiedzi: 37
- Odsłony: 12819
LXVII (67) OM - finał
Zadanie 4. Załóżmy, że istnieje taka liczba naturalna b . Niech x będzie najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią taką, że k | 2^x - 1 . Wówczas x|2a , ale x nie dzieli a . Co więcej, x|b . A zatem, potęga, w której liczba 2 dzieli b jest większa niż ta, w której dzieli a . Argumentując w ten sam sposó...
- 3 kwie 2016, o 22:03
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Ostatnie zadania przeróżne
- Odpowiedzi: 34
- Odsłony: 8303
[MIX] Ostatnie zadania przeróżne
Czy zadanie 23 na pewno jest dobrze? Prawdopodobnie popełniam jakiś błąd, ale nie widzę trójki punktów, która spełniałaby żądany warunek kiedy wierzchołkami kwadratu są (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2) , a te 6 punktów to wierzchołki oraz punkty o współrzędnych \left ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ...
- 31 mar 2016, o 14:00
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
- Odpowiedzi: 94
- Odsłony: 37166
[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb
Chyba nikomu się nie chciało tego zapisywać, więc się przemogłem:) Ponumerujmy podzbiory danego zbioru X , niech s_i oznacza sumę, zaś n_i liczność i -go podzbioru dla i=1, 2, \ldots, N = 2^n . Udowodnimy indukcyjnie, że istnieje taki zbiór X oraz N różnych liczb pierwszych p_1, p_2, \ldots, p_N tak...
- 29 mar 2016, o 13:48
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Inne zadania przeróżne
- Odpowiedzi: 33
- Odsłony: 7730
[MIX] Inne zadania przeróżne
Zadanie 28: Zadanie sprowadza się do znalezienia jednostkowego wektora v takiego, że |\langle v, w_i \rangle | \geq a_i dla i=1, 2, \ldots, n . Łatwo zauważyć, że zbiór A_i takich jednostkowych wektorów v , że |\langle v, w_i \rangle| < a_i , to dwa symetryczne łuki okręgu jednostkowego, z których k...
- 25 mar 2016, o 00:15
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Inne zadania przeróżne
- Odpowiedzi: 33
- Odsłony: 7730
[MIX] Inne zadania przeróżne
Ok, już rozumiem - rzut wektora rozumiałem jako rzut punktu, a nie rzut odcinka. Dzięki:)
- 24 mar 2016, o 23:38
- Forum: Kółko matematyczne
- Temat: [MIX] Inne zadania przeróżne
- Odpowiedzi: 33
- Odsłony: 7730
[MIX] Inne zadania przeróżne
O co chodzi w \(\displaystyle{ 28}\)? Albo czegoś nie rozumiem albo teza jest oczywista, bo wystarczy wziąć prostą "bardzo daleko". Może ma być, że długość jest nie większa? Albo, że prosta ma przechodzić przez środek układu?