Matematyka.pl

Dane jest odwzorowanie :

\(\displaystyle{ L : R^{2}\ni (x, y) \rightarrow (x-3y, -2x+6y, -x+3y)\in R^{3}}\)

Wyznacz jądro \(\displaystyle{ Ker L}\) i jego bazę.

trochę nie rozumiem jak to zrobić bo każdy z tych trzech wektorów jest liniowo zależny od innego...

Zadanie brzmi następująco :
a) Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty:
\(\displaystyle{ P_{1}=(0, 1, 0)}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-1, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ P_{3}=(5, 6, 7)}\)
b) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\), prostopadłej do płaszczyzny z podpunktu a)

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych :
\(\displaystyle{ z^{4}= i^{6}-15}\)

Wyznacz objętość czworościanu o wierzchołkach
\(\displaystyle{ P_{1}=(1, 1, 1)}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-1, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ P_{3}=(5, 6, 7)}\)
\(\displaystyle{ P_{4}=(2, 3, 1)}\)

\(\displaystyle{ z^{2}=\bar{z}}\)

Zaczynam od tego, że rozpisuje lewą stronę równania :
\(\displaystyle{ z^{2}=(a+bi)^{2}}\)
oraz prawą stronę jako :
\(\displaystyle{ \bar{z}=a-bi}\)
następnie przyrównuję część rzeczywistą strony lewej do części rzeczywistej strony prawej i podobnie robię z częściami urojonymi, zgadza się?

Dane jest odwzorowanie liniowe

\(\displaystyle{ L : R ^{3} \rightarrow R ^{3}, L(x, y, z) = (x+2y, y-z, -y+z)}\)

Wyznacz jądro odwzorowania L oraz jego bazę.


To jest ta część zadania, której nie umiem rozwiązać. Jak wyznaczamy jądro odwzorowania i jego bazę...?