Matematyka.pl

Znalazłem takie zadanie i nie umiem go zrobić. Mam wrażenie że pojawiło się wcześniej na jakimś polskim konkursie/obozie, ale nie udało mi się go znaleźć. Być może pomyliło mi się z innym zadaniem. Nie chcę tworzyć nowego tematu, a to jest wątek o wielomianach, więc wrzucam tutaj. Dany jest wielomia...

Ja robiłem 8. z dwustosunku, przekształceń rzutowych i jednokładności. Moje rozwiązanie jest długie i brzydkie, ale jak ktoś chce to wrzucę. Zgadzam się że zadania proste. No, przynajmniej 5,6,7. Siódme udało mi się źle przeczytać i myślałem nad nim miesiąc, po przeczytaniu treści zadania poszło w 1...

Jako osoba która już po raz trzeci nie może brać udziału w olimpiadzie, ale była w finale dwa razy, stwierdzam że zadania rzeczywiście są dużo prostsze niż w zeszłym roku. Chociaż niektóre z moich rozwiązań wymagały wytoczenia ciężkich dział. Jestem ciekaw rozwiązań uczestników, które tych szalonych...

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n}a_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}= \frac{1}{n} \cdot S =\frac{S}{n}}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{S}{n}) = \frac{\frac{S}{n}}{S-\frac{S}{n}}}\) z definicji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Odkopujemy! Liczby a,b,c,d,e są dodatnie i ich iloczyn wynosi 1 . Mamy pokazać, że \tfrac{a + abc}{1 + ab + abcd} +\tfrac{b + bcd}{1 + bc + bcde} +\tfrac{c + cde}{1 + cd + cdea} +\tfrac{d + dea}{1 + de + deab} +\tfrac{e + eab}{1 + ea + eabc} \ge \tfrac{10}{3} Wydaje mi się, że autor tematu popełnił ...

Przekształcenie geometryczne powinno być bijekcją, fajnie też żeby było ciągłe. Spójrzmy na funkcję x + \frac{1}{4 \pi} \cos (2 \pi x) . Jest to na pewno funkcja ciągła i różniczkowalna. Jej bijektywności dowodzimy licząc pochodną f'(x) = 1 + \frac{1}{2} \sin (2 \pi x) . Jest ona zawsze dodatnia, a...

Oznaczmy sobie wspólny wierzchołek obu figur przez A , kolejne (odwrotnie do wskazówek zegara) wierzchołki kwadratu B,C,D , kolejne wierzchołki trójkąta E,F . Kolejne punkty przecięcia obu figur P,Q,R,S . Poza tym punkt przecięcia odcinków EF i AC niech będzie H . Prosta AC jest osią symetrii wszys...

Ja bym do tego chińskiego nie mieszał . Popatrz po prostu na tę formę c = 28x + 37y i zastanów się, kiedy ta forma jest jednoznaczna. Przypuśćmy, że x \ge 37 . Wtedy możemy napisać c = 28 (x -37) + 37 (y+28) , czyli po prostu przenieść iloczyn 28 \cdot 37 do drugiego składnika i otrzymać drugą formę...

Zauważmy, że f(n+1) - f(n) = (n+1)! . Oraz (n+1)! \cdot (n+2) = (n+2)! = f(n+2) - f(n+1) . Zatem (n+2) \cdot (f(n+1) - f(n)) + f(n+1) = f(n+2) (n+3) \cdot f(n+1) - (n+2) \cdot f(n) = f(n+2) W(x) = x+3, U(x) = -(x+2) . Są to wielomiany. Ogólnie to twierdzenie Lagrange'a i nawet pamiętam dowód więc j...

Zauważmy, że ponieważ R = \pi - P - Q , to \cos R = -\cos (P+Q) , z własności funkcji kosinus. Czyli prawą stronę można rozpisać jako \cos P + \cos Q - \cos P \cos Q + \sin P \sin Q Cała zaś nierówność jest równoważna tej: \sin P + \sin Q - \sin P \sin Q > \cos P + \cos Q - \cos P \cos Q . Pomnóżmy...

Po typowych przekształceniach z użyciem wzoru Eulera otrzymujemy: f(x,y,z) = 4 \cos z \cos y \cos x + i \cdot 4 \sin z \sin y \sin x Ponieważ dla dowolnych x,y,z rzeczywistych mamy: \left(\cos z \cos y \cos x \right)^{2/3} + \left(\sin z \sin y \sin x \right)^{2/3} \le 1 Dowód: AM-GM i jedynka tryg...

Ok, no dobra, twoje rozwiązanie się rzeczywiście odwraca. Natomiast trzeba trochę jeszcze policzyć. Ta pierwsza strona została uznana za łatwiejszą i naprawdę dużo osób ją zrobiło, potem nie potrafiąc policzyć w drugą. No ale mało kto robił w ten sposób. I nie widzę tego, że jak się ma w tę stronę, ...

Uwaga do poprzednich "rozwiązań" zadania numer 5. Implikacja w tę stronę była uznana za dużo łatwiejszą do pokazania, dużo osób ją zrobiło i to nie jest nawet pół zadania, if you know what I mean. W drugą stronę nie jest ani podobnie, ani analogicznie. To było najtrudniejsze zadanie, patrz...

Dany jest czworościan ABCD , taki że AB=AC=AD . Punkt O jest środkiem sfery opisanej na tym czworościanie. Punkt G jest środkiem ciężkości trójkąta ACD . Punkt E jest środkiem odcinka BG , punkt F jest środkiem odcinka AE . Wykazać, że OF jest prostopadłe do BG wtedy i tylko wtedy gdy OD jest prosto...

Zdaję sobie sprawę z tego, że zarówno na Mszanie jak i na WMach zadania nie są oryginalne i dobrze, bo jest mnóstwo fajnych, nieznanych zadań, które nie powinny się marnować leżąc w opasłych tomiszczach na półkach zakurzonych bibliotek. Co więcej, wydaje mi się, że organizatorzy Mszany nie braliby z...